Цепные вращения Давенпорта - Википедия - Davenport chained rotations

В физика и инженерное дело, Цепные вращения Давенпорта три прикованы внутренний вращения вокруг конкретных осей, закрепленных за телом. Вращения Эйлера и вращения Тейта – Брайана являются частными случаями разложения общего вращения Дэвенпорта. Углы поворота называются углами Давенпорта, потому что общая проблема разложения вращения на последовательность из трех была впервые изучена Полом Б. Давенпортом.^[1]

Затем на-ортогональный вращающуюся систему координат можно представить как жестко прикрепленную к твердому телу. В этом случае его иногда называют местный система координат. Поскольку оси вращения солидарны с движущимся телом, обобщенные вращения можно разделить на две группы (здесь Икс, у и z относятся к неортогональной подвижной системе отсчета):

Обобщенные вращения Эйлера: $(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)$
Обобщенные вращения Тейта – Брайана.: $(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)$ .

Большинство случаев относятся ко второй группе, поскольку обобщенные вращения Эйлера являются вырожденным случаем, в котором первая и третья оси перекрываются.

Теорема вращения Дэвенпорта

Возможные оси Давенпорта для шагов 1 и 3 с учетом Z как шага 2

Общая проблема разложения вращение на три составных движения вокруг внутренних осей был изучен П. Дэвенпортом под названием "обобщенные Углы Эйлера », но впоследствии эти углы были названы М. Шустером и Л. Маркли« углами Давенпорта ».^[2]

Общая проблема состоит в получении матричного разложения вращения по трем известным осям. В некоторых случаях одна из осей повторяется. Эта проблема эквивалентна задаче разложения матриц.^[3]

Давенпорт доказал, что любой ориентации можно достичь, составив три элементарных вращения с использованием неортогональных осей. Элементарные вращения могут происходить либо вокруг осей фиксированной системы координат (внешние вращения ) или вокруг осей вращающейся системы координат, которая изначально совмещена с фиксированной и изменяет свою ориентацию после каждого элементарного вращения (собственное вращение ).

Согласно теореме Дэвенпорта, уникальное разложение возможно тогда и только тогда, когда вторая ось перпендикулярна двум другим осям. Следовательно, оси 1 и 3 должны находиться в плоскости, ортогональной оси 2.^[4]

Следовательно, разложения в цепные вращения Эйлера и цепные вращения Тейта – Брайана являются частными случаями этого. Случай Тейта – Брайана возникает, когда оси 1 и 3 перпендикулярны, а случай Эйлера появляется, когда они перекрываются.

Полная система ротаций

Изображение 2: Самолет покоится на самолете

Набор вращений Дэвенпорта считается завершенным, если его достаточно для создания любого вращения пространства по композиции. Выражаясь в терминах матрицы, он является полным, если может генерировать любую ортонормированную матрицу пространства, определитель которой равен +1. Из-за некоммутативности матричного произведения систему вращения необходимо заказывать.

Иногда порядок определяется геометрией основной проблемы. Например, при использовании для транспортных средств, у которых есть специальная ось, указывающая в направлении «вперед», полезна только одна из шести возможных комбинаций поворотов. Интересная композиция - это та, которая способна управлять курсом и углом возвышения самолета с одним независимым вращением каждый.

На соседнем чертеже композиция рыскания, тангажа и крена (YPR) позволяет регулировать направление самолета с двумя первыми углами. Другой состав, такой как YRP, позволил бы установить направление оси крыльев, что, очевидно, в большинстве случаев бесполезно.

Цепные вращения Тейта – Брайана

В главные оси самолета

Вращения Тейта – Брайана представляют собой частный случай, когда первая и третья оси перпендикулярны между ними. Предполагая система отсчета <Икс, у, z> с соглашение как на изображении 2, и самолет с <рыскание, тангаж, крен> топоры как на изображении 1, лежащем горизонтально в плоскости вначале, после выполнения внутренних поворотов Y, P и R по осям рыскания, тангажа и крена (в этом порядке) мы получаем нечто похожее на изображение 3.

Углы курса, возвышения и крена после рыскания, тангажа и крена (Z-Y’-X ’’)

В начале :

ось крена самолета находится на оси Икс системы отсчета
ось тангажа плоскости находится на оси у системы отсчета
ось рыскания плоскости находится на оси z системы отсчета

Повороты применяются в порядке рыскание, тангаж и крен. В этих условиях курс (угол в горизонтальной плоскости) будет равен приложенному рысканью, а высота будет равна тангажу.

Матричные выражения для трех вращений Тейта – Брайана в трех измерениях:

{ displaystyle { begin {align} R_ {x} ( phi) = mathrm {Roll} ( phi) & = { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & cos phi & - sin phi 0 & sin phi & cos phi end {bmatrix}} R_ {y} ( theta) = mathrm {Pitch} ( theta) & = { begin {bmatrix} cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 - sin theta & 0 & cos theta end {bmatrix}} R_ {z} ( psi) = mathrm {Yaw} ( psi) & = { begin {bmatrix} cos psi & - sin psi & 0 sin psi & cos psi & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}. end {выравнивается}}}

Матрица составленных поворотов:

{ Displaystyle { begin {align} M & = mathrm {Yaw} ( psi) , mathrm {Pitch} ( theta) , mathrm {Roll} ( phi) & = R_ {z} ( psi) R_ {y} ( theta) R_ {x} ( phi). end {выравнивается}}}

Из шести возможных комбинаций рыскания, тангажа и крена эта комбинация является единственной, в которой курс (направление оси крена) равен одному из поворотов (рыскание), а высота (угол оси крена) с горизонтальной плоскостью) равно другому вращению (шагу).

Цепные вращения Эйлера

Исходное положение самолета для применения правильных углов Эйлера

Вращения Эйлера появляются как частный случай, когда первая и третья оси вращения перекрываются. Эти вращения Эйлера связаны с собственными углами Эйлера, которые, как считалось, изучали движение твердого тела, такого как планета. Угол, определяющий направление оси крена, обычно называется «долгота оси вращения» или «долгота линии узлов», а не «курс», что не имеет смысла для планеты.

В любом случае, вращение Эйлера все еще можно использовать, говоря о транспортном средстве, хотя оно будет иметь странное поведение. Так как вертикальная ось является началом углов, она называется «наклон», а не «высота». Как и раньше, при описании положения транспортного средства считается, что ось направлена вперед, и поэтому будет полезна только одна из возможных комбинаций поворотов.

Комбинация зависит от того, как взята ось и каково начальное положение плоскости. Используя тот, что на чертеже, и комбинируя повороты таким образом, что ось повторяется, только крен – тангаж – крен позволит контролировать долготу и наклон с одним оборотом каждый.

Три матрицы для умножения:

{ displaystyle { begin {align} R_ {z} ( phi) = mathrm {Roll} _ {1} ( phi) & = { begin {bmatrix} cos phi & - sin phi & 0 sin phi & cos phi & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} R_ {y} ( theta) = mathrm {Pitch} ( theta) & = { begin {bmatrix} cos theta & 0 & sin theta 0 & 1 & 0 - sin theta & 0 & cos theta end {bmatrix}} R_ {z} ( psi) = mathrm {Roll} _ {2} ( psi) & = { begin {bmatrix} cos psi & - sin psi & 0 sin psi & cos psi & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}}. end {align}} }

В этой конвенции Roll₁ задает "курс", Pitch - "наклон" (дополняющий высоту), а Roll₂ накладывает «наклон».

Преобразование во внешние вращения

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (−60 °, 30 °, 45 °), используя z-x’-z ″ собственное вращение

То же вращение, представленное как (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием z-x-z внешние вращения

Вращения Давенпорта обычно изучаются как внутренняя композиция вращения из-за важности осей, прикрепленных к движущемуся телу, но они могут быть преобразованы во внешнюю композицию вращения, если это может быть более интуитивно понятным.

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с инвертированным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные вращения x-y’-z ″ по углам α, β, γ эквивалентны сторонним вращениям г-у-х по углам γ, β, α. Оба представлены матрицей

{ Displaystyle Р = Икс ( альфа) Y ( бета) Z ( гамма)}

если р используется для предварительного умножения вектор-столбец, и матрицей

{ Displaystyle Р = Z ( гамма) Y ( бета) X ( альфа)}

если р используется для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Связь с физическими движениями

Собственные вращения

Внутренние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей вращающейся системы координат. XYZ, который меняет свою ориентацию после каждого вращения элемента. В XYZ система вращается, а xyz фиксированный. Начиная с XYZ перекрытие xyz, композиция из трех собственных вращений может использоваться для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) - амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

В XYZ система вращается α о Z ось (которая совпадает с z ось). В Икс ось теперь лежит на линии узлов.
В XYZ система вращается вокруг теперь повернутого Икс ось β. В Z ось теперь в своей окончательной ориентации, а Икс ось остается на линии узлов.
В XYZ система в третий раз рассказывает о новом Z ось γ.

Вышеупомянутый обозначение позволяет нам резюмировать это следующим образом: три элементарных вращения XYZ-системы происходят примерно z, Икс' и z″. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x’-z ″. Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта-Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше). Иногда ту же последовательность просто называют z-x-z, Z-X-Z, или же 3-1-3, но это обозначение может быть неоднозначным, поскольку оно может быть идентично используемому для внешних вращений. В этом случае возникает необходимость отдельно указать, являются ли вращения внутренними или внешними.

Матрицы вращения может использоваться для представления последовательности внутренних вращений. Например,

{ Displaystyle Р = Икс ( альфа) Y ( бета) Z ( гамма)}

представляет собой композицию собственных вращений вокруг осей x-y’-z ″, если используется для предварительного умножения вектор-столбец, пока

{ Displaystyle Р = Z ( гамма) Y ( бета) X ( альфа)}

представляет собой точно такую же композицию при использовании для постмножения векторы-строки. Видеть Неопределенности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Внешние вращения

Внешние вращения - это элементарные вращения, которые происходят вокруг осей фиксированной системы координат. xyz. В XYZ система вращается, а xyz фиксированный. Начиная с XYZ перекрытие xyz, композиция из трех внешних вращений может быть использована для достижения любой целевой ориентации для XYZ. Углы Эйлера или Тейта-Брайана (α, β, γ) - амплитуды этих вращений элементов. Например, целевая ориентация может быть достигнута следующим образом:

В XYZ система вращается вокруг z ось α. В Икс ось теперь под углом α с уважением к Икс ось.
В XYZ система снова вращается вокруг Икс ось β. В Z ось теперь находится под углом β по отношению к z ось.
В XYZ система вращается в третий раз вокруг z ось γ.

В общем, три вращения элементов происходят примерно на z, Икс и z. Действительно, эту последовательность часто обозначают z-x-z (или 3-1-3). Наборы осей вращения, связанные как с собственными углами Эйлера, так и с углами Тейта – Брайана, обычно называются с использованием этой нотации (подробности см. Выше).

Матрицы вращения может использоваться для представления последовательности внешних вращений. Например,

{ Displaystyle Р = Z ( гамма) Y ( бета) X ( альфа)}

представляет собой композицию внешних вращений вокруг осей х-у-я, если используется для предварительного умножения вектор-столбец, пока

{ Displaystyle Р = Икс ( альфа) Y ( бета) Z ( гамма)}

представляет собой точно такую же композицию при использовании для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Преобразование между внутренним и внешним вращениями

Вращение, представленное углами Эйлера (α, β, γ) = (−60 °, 30 °, 45 °), используя z-x’-z ″ собственное вращение

То же вращение, представленное как (γ, β, α) = (45 °, 30 °, −60 °), с использованием z-x-z внешние вращения

Любое внешнее вращение эквивалентно внутреннему вращению на те же углы, но с инвертированным порядком вращения элементов, и наоборот. Например, собственные вращения x-y’-z ″ по углам α, β, γ эквивалентны внешним вращениям г-у-х по углам γ, β, α. Оба представлены матрицей

{ Displaystyle Р = Икс ( альфа) Y ( бета) Z ( гамма)}

если р используется для предварительного умножения вектор-столбец, а матрицей

{ Displaystyle Р = Z ( гамма) Y ( бета) X ( альфа)}

если р используется для постмножения векторы-строки. Видеть Неоднозначности в определении матриц вращения Больше подробностей.

Доказательство преобразования в случае предварительного умножения

Матрица вращения собственной последовательности вращения x-y’-z ″ можно получить последовательным вращением внутренних элементов справа налево:

{ displaystyle R = Z''Y'X.}

В этом процессе есть три кадра, связанные во внутренней последовательности вращения. Обозначим кадр 0 как начальный кадр, кадр 1 после первого поворота вокруг ось x, кадр 2 после второго оборота вокруг ты оси, а кадр 3 - как третий оборот вокруг z ″ ось.

Поскольку матрица вращения может быть представлена среди этих трех кадров, давайте использовать индекс левого плеча для обозначения кадра представления. Следующие обозначения означают матрицу вращения, которая преобразует кадр. а к раме б и это представлено в кадре c :

{ displaystyle {} ^ {c} ! R_ {a rightarrow b}.}

Матрица вращения внутреннего элемента, представленная в том кадре, где происходит поворот, имеет то же значение, что и соответствующая матрица вращения внешнего элемента:

{ displaystyle {} ^ {0} ! R_ {1 rightarrow 0} = X, quad {} ^ {1} ! R_ {2 rightarrow 1} = Y, quad {} ^ {2} ! R_ {3 rightarrow 2} = Z.}

Внутренняя матрица вращения элементов Y ’ и Z ″ Представленные в кадре 0 могут быть выражены в других формах:

{ displaystyle { begin {align} Y '& = {} ^ {0} ! R_ {2 rightarrow 1} & = {} ^ {0} ! R_ {1 rightarrow 0} {} ^ {1} ! R_ {2 rightarrow 1} {} ^ {0} ! R_ {1 rightarrow 0} ^ {- 1} & = XYX ^ {- 1} Z '' & = { } ^ {0} ! R_ {3 rightarrow 2} & = {} ^ {0} ! R_ {1 rightarrow 0} {} ^ {1} ! R_ {3 rightarrow 2} {} ^ {0} ! R_ {1 rightarrow 0} ^ {- 1} & = X left ({} ^ {1} ! R_ {2 rightarrow 1} {} ^ {2} ! R_ {3 rightarrow 2} {} ^ {1} ! R_ {2 rightarrow 1} ^ {- 1} right) X ^ {- 1} & = XYZY ^ {- 1} X ^ {- 1 } конец {выровнено}}}

Два приведенных выше уравнения подставляются в первое уравнение:

{ displaystyle { begin {align} R & = Z''Y'X & = left (XYZY ^ {- 1} X ^ {- 1} right) left (XYX ^ {- 1} right ) X & = XYZY ^ {- 1} left (X ^ {- 1} X right) Y left (X ^ {- 1} X right) & = XYZ left (Y ^ { -1} Y right) & = XYZ end {align}}}

Таким образом, матрица вращения внутренней последовательности вращения элементов такая же, как и матрица обратной последовательности вращения внешних элементов:

{ displaystyle R = Z''Y'X = XYZ.}