Теорема Де Гуаса - Википедия - De Guas theorem

тетраэдр с прямым углом в O

Теорема де Гуа является трехмерным аналогом теорема Пифагора и назван в честь Жан Поль де Гуа де Мальв.

Если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куб ), то квадрат площади грани напротив прямого угла равен сумме квадратов площадей трех других граней.

Обобщения

В теорема Пифагора и теорема де Гуа - частные случаи (п = 2, 3) общая теорема о п-симплексы с прямой угол угол. Это, в свою очередь, частный случай еще более общая теорема Дональда Р. Конанта и Уильяма А. Бейера,[1] что можно сформулировать следующим образом.

Позволять U быть измеримый подмножество k-размерный аффинное подпространство из (так ). Для любого подмножества с точно k элементы, пусть быть ортогональная проекция из U на линейный пролет из , куда и это стандартная основа за . потом

куда это k-размерный объем из U и сумма берется по всем подмножествам с точно k элементы.

Теорема Де Гуа и ее обобщение (см. Выше) на п-симплексы с прямыми углами соответствуют частному случаю, когда k = п−1 и U является (п−1) -симплекс в с вершинами на оси координат. Например, предположим п = 3, k = 2 и U это треугольник в с вершинами А, B и C лежа на -, - и -axes соответственно. Подмножества из с ровно 2 элементами , и . По определению, ортогональная проекция на -самолет, так что это треугольник с вершинами О, B и C, куда О это источник из . По аналогии, и , поэтому теорема Конанта – Бейера говорит

что является теоремой де Гуа.

Обобщение теоремы де Гуа на п-симплексы с прямыми углами также могут быть получены как частный случай из Формула детерминанта Кэли-Менгера .

История

Жан Поль де Гуа де Мальв (1713–1785) опубликовал теорему в 1783 году, но примерно в то же время другой французский математик опубликовал несколько более общую версию: Шарль де Тинсо д'Амонданс (1746–1818), а также. Однако теорема также была известна гораздо раньше. Иоганн Фаульхабер (1580–1635) и Рене Декарт (1596–1650).[2][3]

Примечания

  1. ^ Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». Американский математический ежемесячник. Математическая ассоциация Америки. 81 (3): 262–265. Дои:10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
  2. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Теорема де Гуа". MathWorld.
  3. ^ Ховард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.). Математическая ассоциация Америки, 1983 г., ISBN  9780883853108, С. 37 (выдержка, п. 37, в Google Книги )

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». Математический журнал колледжа. Математическая ассоциация Америки. 35 (5): 385–388. JSTOR  4146849. Доказательство теоремы де Гуа и обобщений на произвольные тетраэдры и пирамиды.
  • Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид». Математический интеллект. SpringerLink. Применение теоремы де Гуа для доказательства частного случая Формула Герона.