Функция потока - Stream function

Линии обтекаемости - строки с постоянным значением функции тока - для несжимаемый потенциальное обтекание кругового цилиндра в едином потоке.

В функция потока определяется для несжимаемый (без расхождения ) потоки в двух измерениях - а также в трех измерениях с осесимметрия. В скорость потока компоненты могут быть выражены как производные из скаляр функция потока. Функция потока может использоваться для построения графика рационализирует, которые представляют собой траектории частиц в установившемся потоке. Двумерный Функция потока Лагранжа был представлен Жозеф Луи Лагранж в 1781 г.^[1] В Функция потока Стокса предназначен для осесимметричного трехмерного потока и назван в честь Джордж Габриэль Стоукс.^[2]

Рассматривая частный случай динамика жидкостей, разница между значениями функции тока в любых двух точках дает объемный расход (или объемный поток ) через линию, соединяющую две точки.

Поскольку линии тока касательная к вектору скорости потока значение функции тока должно быть постоянным вдоль линии тока. Полезность функции тока заключается в том, что компоненты скорости потока в Икс- и у- направления в данной точке задаются частные производные функции потока в этой точке. Функция потока может быть определена для любого потока, размерность которого больше или равна двум, однако двумерный случай, как правило, легче всего визуализировать и вывести.

Для двумерного потенциальный поток, линии тока перпендикулярны эквипотенциальный линий. Вместе с потенциал скорости, функция потока может использоваться для получения сложный потенциал. Другими словами, функция потока учитывает соленоидный часть двухмерного Разложение Гельмгольца, а потенциал скорости учитывает безвихревый часть.

Двумерная функция тока

Определения

Громкость поток через кривую между точками

{ displaystyle A}

и

{ displaystyle P.}

ягненок и Бэтчелор определить функцию потока ${ Displaystyle psi (х, у, т)}$ - в точку ${ displaystyle P}$ с двумерными координатами ${ Displaystyle (х, у)}$ и как функция времени ${ displaystyle t}$ - для несжимаемый поток к:^[3]

{ displaystyle psi = int _ {A} ^ {P} left (u , { text {d}} y-v , { text {d}} x right).}

Итак, функция потока ${ displaystyle psi}$ это объемный поток через кривую ${ displaystyle AP}$ , то есть: интеграл от скалярное произведение из скорость потока вектор ${ Displaystyle (и, v)}$ и нормальный ${ displaystyle (+ { text {d}} y, - { text {d}} x)}$ к элементу кривой ${ displaystyle ({ text {d}} x, { text {d}} y).}$ Смысл ${ displaystyle A}$ является контрольной точкой, определяющей, где функция потока равна нулю: сдвиг ${ displaystyle A}$ приводит к добавлению константы к функции потока ${ displaystyle psi.}$

An бесконечно малый сдвиг ${ Displaystyle дельта Р = ( дельта х, дельта у)}$ позиции ${ displaystyle P}$ приводит к сдвигу функции потока:

{ Displaystyle дельта пси = и , дельта у-v , дельта х,}

который является точный дифференциал при условии

{ displaystyle { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} = 0.}

Это условие нуля расхождение в результате несжимаемости потока. С

{ displaystyle delta psi = { frac { partial psi} { partial x}} , delta x + { frac { partial psi} { partial y}} , delta y,}

компоненты скорости потока должны быть

{ displaystyle u = { frac { partial psi} { partial y}}, qquad v = - { frac { partial psi} { partial x}}}

по отношению к функции тока ${ displaystyle psi.}$

Определение с использованием векторного потенциала

Знак функции потока зависит от используемого определения.

Один из способов - определить функцию потока ${ displaystyle psi}$ для двумерного потока такого, что скорость потока можно выразить через векторный потенциал ${ displaystyle { boldsymbol { psi}}:}$

{ displaystyle mathbf {u} = nabla times { boldsymbol { psi}}}

Где ${ Displaystyle { boldsymbol { psi}} = (0,0, psi)}$ если вектор скорости потока ${ Displaystyle mathbf {u} = (и, v, 0)}$ .

В Декартова система координат это эквивалентно

{ displaystyle u = { frac { partial psi} { partial y}}, qquad v = - { frac { partial psi} { partial x}}}

Где ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ компоненты скорости потока в декартовой ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$ координатные направления соответственно.

Альтернативное определение (противоположный знак)

Другое определение (более широко используемое в метеорология и океанография чем указано выше)

{ displaystyle mathbf {u} = mathbf {z} times nabla psi ' Equiv left (- psi' _ {y}, psi '_ {x}, 0 right)}

,

куда ${ Displaystyle mathbf {z} = (0,0,1)}$ является единичным вектором в ${ displaystyle + z}$ направление, а нижние индексы указывают частные производные.

Обратите внимание, что это определение имеет знак, противоположный приведенному выше ( ${ displaystyle psi '= - psi}$ ), так что имеем

{ displaystyle u = - { frac { partial psi '} { partial y}}, qquad v = { frac { partial psi'} { partial x}}}

в декартовых координатах.

Все формулировки функции тока ограничивают скорость, чтобы удовлетворить двумерному уравнение неразрывности точно:

{ displaystyle { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} = 0}

Последние два определения функции потока связаны через тождество с векторным исчислением

{ displaystyle nabla times left ( psi mathbf {z} right) = psi nabla times mathbf {z} + nabla psi times mathbf {z} = nabla psi раз mathbf {z} = mathbf {z} times nabla psi '.}

Обратите внимание, что ${ Displaystyle { boldsymbol { psi}} = psi mathbf {z}}$ в этом двумерном потоке.

Вывод двумерной функции тока.

Рассмотрим две точки A и B в двумерном плоском потоке. Если расстояние между этими двумя точками очень мало: δn, и поток потока проходит между этими точками со средней скоростью q, перпендикулярной линии AB, объемный расход на единицу толщины δΨ определяется как:

{ displaystyle delta psi = q delta n ,}

При δn → 0, переписывая это выражение, получаем:

{ displaystyle q = { frac { partial psi} { partial n}} ,}

Теперь рассмотрим двумерное плоское течение в системе координат. Предположим, что наблюдатель смотрит вдоль произвольной оси в направлении увеличения и видит поток, пересекающий ось со стороны слева направо. Принято соглашение о знаках, при котором скорость потока равна положительный.

Поток в декартовых координатах

Наблюдая за потоком в элементарный квадрат в x-y Декартова координата система, имеем:

{ Displaystyle { begin {выровнено} delta psi & = u delta y , delta psi & = - v delta x , end {align}}}

где u - скорость потока, параллельная и в направлении оси x, а v - скорость потока, параллельная и в направлении оси y. Таким образом, при δn → 0 и перестановкой имеем:

{ displaystyle { begin {align} u & = { frac { partial psi} { partial y}} , v & = - { frac { partial psi} { partial x}} , конец {выровнено}}}

Непрерывность: происхождение

Рассмотрим двумерный плоский поток в декартовой системе координат. Непрерывность утверждает, что если мы рассматриваем несжимаемый поток в элементарный квадрат, поток в этот маленький элемент должен равняться потоку из этого элемента.

Общий поток в элемент определяется как:

{ displaystyle delta psi _ { text {in}} = u delta y + v delta x. ,}

Общий поток из элемента определяется как:

{ displaystyle delta psi _ { text {out}} = left (u + { frac { partial u} { partial x}} delta x right) delta y + left (v + { frac { partial v} { partial y}} delta y right) delta x. ,}

Таким образом, мы имеем:

{ displaystyle { begin {align} delta psi _ { text {in}} & = delta psi _ { text {out}} , u delta y + v delta x & = left (u + { frac { partial u} { partial x}} delta x right) delta y + left (v + { frac { partial v} { partial y}} delta y right) дельта х , конец {выровнено}}}

и упрощая до:

{ displaystyle { frac { partial u} { partial x}} + { frac { partial v} { partial y}} = 0.}

Подставляя выражения функции тока в это уравнение, имеем:

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} psi} { partial x partial y}} - { frac { partial ^ {2} psi} { partial y partial x}} = 0 .}

Завихренность

Функцию потока можно найти из завихренность используя следующие Уравнение Пуассона:

{ displaystyle nabla ^ {2} psi = - omega}

или же

{ displaystyle nabla ^ {2} psi '= + omega}

где вектор завихренности ${ Displaystyle { boldsymbol { omega}} = набла раз mathbf {u}}$ - определяется как завиток вектора скорости потока ${ displaystyle mathbf {u}}$ - для этого двумерного потока ${ Displaystyle { boldsymbol { omega}} = (0,0, omega),}$ т.е. только ${ displaystyle z}$ -компонент ${ displaystyle omega}$ может быть ненулевым.

Доказательство того, что постоянное значение функции потока соответствует линии тока

Рассмотрим двумерный плоский поток в декартовой системе координат. Рассмотрим две бесконечно близкие точки ${ Displaystyle Р = (х, у)}$ и ${ Displaystyle Q = (х + dx, y + dy)}$ . Из расчетов мы получаем, что

{ Displaystyle { begin {align} & psi (x + dx, y + dy) - psi (x, y) = {} & { partial psi over partial x} dx + { partial psi over partial y} dy = {} & nabla psi cdot d { boldsymbol {r}} end {выравнивается}}}

Сказать ${ displaystyle psi}$ принимает такое же значение, скажем ${ displaystyle C}$ , в двух точках ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ , тогда ${ displaystyle d { boldsymbol {r}}}$ касается кривой ${ displaystyle psi = C}$ в ${ displaystyle P}$ и

{ displaystyle 0 = psi (x + dx, y + dy) - psi (x, y) = nabla psi cdot d { boldsymbol {r}}}

подразумевая, что вектор ${ displaystyle nabla psi}$ нормально к кривой ${ displaystyle psi = C}$ . Если мы сможем показать это везде ${ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla psi = 0}$ , используя формулу для ${ displaystyle { boldsymbol {u}}}$ с точки зрения ${ displaystyle psi}$ , тогда мы докажем результат. Из этого легко следует,

{ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla psi = { partial psi over partial y} { partial psi over partial x} + left (- { partial psi over partial x} right) { partial psi over partial y} = 0.}

Свойства функции потока

Функция потока ${ displaystyle psi}$ постоянно вдоль любой линии тока.
Для непрерывного потока (без источников и стоков) объемный расход на любом замкнутом пути равен нулю.
Для двух схем потока несжимаемой жидкости алгебраическая сумма функций тока равна другой функции тока, полученной, если две схемы потока накладываются друг на друга.
Скорость изменения функции тока с расстоянием прямо пропорциональна составляющей скорости, перпендикулярной направлению изменения.

внешняя ссылка

Интерактивное веб-приложение Joukowsky Transform

[1] Лагранж, Ж.-Л. (1868), «Память о теории движения флюидов (в: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)», Эврес де Лагранж, Том IV, стр. 695–748

[2] Стокса, Г. (1842 г.), «Об установившемся движении несжимаемой жидкости», Труды Кембриджского философского общества, 7: 439–453, Bibcode:1848TCaPS ... 7..439S
Печатается на: Стокса, Г. (1880), Математические и физические документы, том I, Cambridge University Press, стр. 1–16.

[3] Баранина (1932 г., стр. 62–63) и Бэтчелор (1967), стр. 75–79).

[1]

[2]

[3]