Суперэллиптическая кривая - Википедия - Superelliptic curve

В математике суперэллиптическая кривая является алгебраическая кривая определяется уравнением вида

куда целое число и ж это многочлен степени с коэффициентами в поле ; точнее, это гладкий проективная кривая чей функциональное поле[необходимо разрешение неоднозначности ] определяется этим уравнением. и является эллиптическая кривая, случай и это гиперэллиптическая кривая, а случай и является примером тригональная кривая.

Некоторые авторы накладывают дополнительные ограничения, например, что целое число не должно делиться на характеристика из , что полином должно быть без квадратов, что целые числа м и d должно быть совмещать, или их комбинация.[1]

В Диофантова проблема нахождения целочисленных точек на суперэллиптической кривой может быть решена методом, аналогичным методу, используемому для решения гиперэллиптических уравнений: Личность Зигеля используется для сведения к Уравнение Туэ.

Определение

В более общем плане суперэллиптическая кривая циклический разветвленное покрытие

проективной линии степени взаимно проста с характеристикой поля определения. Степень покрывающей карты также называется степенью кривой. К циклическое покрытие мы имеем в виду, что Группа Галуа покрытия (т. е. соответствующие функциональное поле расширение) циклический.

Основная теорема Теория Куммера подразумевает[нужна цитата ] что суперэллиптическая кривая степени определяется над полем имеет аффинную модель, заданную уравнением

для некоторого полинома степени с каждым корнем в порядке , при условии, что имеет точку, определенную над , то есть если множество из -рациональные точки не пусто. Например, это всегда так, когда является алгебраически замкнутый. В частности, расширение функционального поля это Куммер расширение.

Разветвление

Позволять - суперэллиптическая кривая, определенная над алгебраически замкнутым полем , и обозначим множество корней в . Определить набор

потом - множество точек ветвления накрывающего отображения данный .

Для аффинной точки ветвления , позволять обозначим порядок как корень . Как и раньше, полагаем . потом

индекс ветвления на каждом из точки разветвления кривой, лежащей над (это действительно так для любого ).

Для точки на бесконечности определите целое число следующее. Если

тогда . Обратите внимание, что . Тогда аналогично другим точкам разветвления

индекс ветвления на точки эта ложь . В частности, кривая неразветвлена ​​на бесконечности тогда и только тогда, когда ее степень разделяет .

Изгиб определенный, как указано выше, связан именно тогда, когда и взаимно просты (не обязательно попарно), что и предполагается.

Род

Посредством Формула Римана-Гурвица, род суперэллиптической кривой определяется выражением

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Galbraith, S.D .; Paulhus, S.M .; Смарт, Н.П. (2002). «Арифметика на суперэллиптических кривых». Математика вычислений. 71: 394–405. Дои:10.1090 / S0025-5718-00-01297-7. МИСТЕР  1863009.