Тауберова теорема Винерса - Википедия - Wieners tauberian theorem

В математический анализ, Тауберова теорема Винера есть ли какой-либо из нескольких связанных результатов, доказанных Норберт Винер в 1932 г.[1] Они обеспечивают необходимое и достаточное условие, при котором любая функция в L1 или же L2 можно приблизительно оценить линейные комбинации из переводы данной функции.[2]

Неформально, если преобразование Фурье функции ж исчезает на определенном множестве Z, преобразование Фурье любой линейной комбинации переносов ж также исчезает на Z. Следовательно, линейные комбинации переводов ж не может аппроксимировать функцию, преобразование Фурье которой не обращается в нуль на Z.

Теоремы Винера уточняют это, утверждая, что линейные комбинации переводов ж находятся плотный если и только если нулевой набор преобразования Фурье ж пусто (в случае L1) или нулевой меры Лебега (в случае L2).

Гельфанд переформулировал теорему Винера в терминах коммутативные C * -алгебры, когда говорится, что спектр L1 групповое кольцо L1(р) группы р действительных чисел - двойственная группа р. Аналогичный результат верен, когда р заменяется любым локально компактная абелева группа.

Состояние в L1

Позволять ж ∈ L1(р) - интегрируемая функция. В охватывать переводов жа(Икс) = ж(Икс + а) плотно в L1(р) тогда и только тогда, когда преобразование Фурье ж не имеет настоящих нулей.

Тауберова переформулировка

Следующее утверждение эквивалентно предыдущему результату,[нужна цитата ] и объясняет, почему результат Винера Тауберова теорема:

Предположим, что преобразование Фурье ж ∈ L1 не имеет действительных нулей, и предположим, что свертка ж * час стремится к нулю на бесконечности для некоторых час ∈ L. Тогда свертка грамм * час стремится к нулю на бесконечности для любого грамм ∈ L1.

В более общем смысле, если

для некоторых ж ∈ L1 преобразование Фурье которого не имеет действительных нулей, то также

для любого грамм ∈ L1.

Дискретная версия

Теорема Винера имеет аналог в л1(Z): диапазон переводов ж ∈ л1(Z) плотно тогда и только тогда, когда преобразование Фурье

не имеет настоящих нулей. Следующие утверждения являются эквивалентной версией этого результата:

  • Предположим, что преобразование Фурье ж ∈ л1(Z) не имеет действительных нулей, а для некоторой ограниченной последовательности час свертка ж * час стремится к нулю на бесконечности. потом грамм * час также стремится к нулю на бесконечности для любого грамм ∈ л1(Z).
  • Позволять φ - функция на единичной окружности с абсолютно сходящимся рядом Фурье. потом 1/φ имеет абсолютно сходящийся ряд Фурье тогда и только тогда, когда φ не имеет нулей.

Гельфанд  (1941a, 1941b ) показал, что это равносильно следующему свойству Винеровская алгебра А(Т), который он доказал, используя теорию банаховых алгебр, тем самым дав новое доказательство результата Винера:

  • Максимальные идеалы А(Т) все в форме

Состояние в L2

Позволять ж ∈ L2(р) - функция, интегрируемая с квадратом. Объем переводов жа(Икс) = ж(Икс + а) плотно в L2(р) тогда и только тогда, когда действительные нули преобразования Фурье ж сформировать набор из нуля Мера Лебега.

Параллельное заявление в л2(Z) выглядит следующим образом: диапазон переводов последовательности ж ∈ л2(Z) плотно тогда и только тогда, когда нулевое множество преобразования Фурье

имеет нулевую меру Лебега.

Примечания

  1. ^ Видеть Винер (1932).
  2. ^ видеть Рудин (1991).

Рекомендации

  • Гельфанд, И. (1941а), "Нормьерте Ринге", Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 3–24, МИСТЕР  0004726
  • Гельфанд, И. (1941b), "Über absolut konvergente trigonometrische Reihen und Integrale", Рек. Математика. (Мат. Сборник) Н.С., 9 (51): 51–66, МИСТЕР  0004727
  • Рудин, В. (1991), Функциональный анализ, Международная серия по чистой и прикладной математике, Нью-Йорк: McGraw-Hill, Inc., ISBN  0-07-054236-8, МИСТЕР  1157815
  • Винер, Н. (1932), «Тауберовы теоремы», Анналы математики, 33 (1): 1–100, JSTOR  1968102

внешняя ссылка