В математика, Формула суммирования Абеля, представлен Нильс Хенрик Абель, интенсивно используется в теория чисел и изучение специальные функции вычислить серии.
Формула
Позволять
быть последовательность из настоящий или же сложные числа. Определите функцию частичной суммы
к
![{ Displaystyle А (т) = сумма _ {0 Leq п Leq т} а_ {п}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4656df57430d20768c569407515e0f949402eaa1)
для любого реального числа
. Исправить реальные числа
, и разреши
быть непрерывно дифференцируемый функция на
. Потом:
![{ Displaystyle сумма _ {Икс <п Leq у} а_ {п} фи (п) = А (у) фи (у) -А (х) фи (х) - int _ {х} ^ {y} A (u) phi '(u) , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2d8d9449b697eb78e27961d16c12190db481a3)
Формула получается путем применения интеграция по частям для Интеграл Римана – Стилтьеса. к функциям
и
.
Вариации
Принимая левую конечную точку за
дает формулу
![{ Displaystyle сумма _ {0 Leq п Leq x} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {0} ^ {x} A (u) фи '(и) , ду.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a1941a4c70b9e49a717bbc702b898324d983254)
Если последовательность
индексируется, начиная с
, то можно формально определить
. Предыдущая формула становится
![{ Displaystyle сумма _ {1 Leq п Leq х} a_ {n} phi (n) = A (x) phi (x) - int _ {1} ^ {x} A (u) фи '(и) , ду.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83f3b793ceb7d0d01b244dfb66e2a39aebfa7c1)
Распространенный способ применения формулы суммирования Абеля - это взять предел одной из этих формул как
. Полученные формулы:
![{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A ( x) phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} A (u) phi '(u) , du, sum _ {n = 1} ^ { infty} a_ {n} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} A (x) phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} А (и) фи '(и) , ду. конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd06d0458f46b55b58dc85f4d118033ddfc4ed1)
Эти уравнения верны, если оба предела в правой части существуют и конечны.
Особенно полезным случаем является последовательность
для всех
. В этом случае,
. Для этой последовательности формула суммирования Абеля упрощается до
![{ displaystyle sum _ {0 Leq n Leq x} phi (n) = lfloor x + 1 rfloor phi (x) - int _ {0} ^ {x} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee851d1b0ee1e34c2a92b8f398f4f9ccf7b71610)
Аналогично для последовательности
и
для всех
, формула принимает вид
![{ displaystyle sum _ {1 leq n leq x} phi (n) = lfloor x rfloor phi (x) - int _ {1} ^ {x} lfloor u rfloor phi ' (и) , ду.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f74bd9d1a3b42c1d617f34a3166f99cce424519)
Приняв предел как
, мы нашли
![{ displaystyle { begin {align} sum _ {n = 0} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x + 1 rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {0} ^ { infty} lfloor u + 1 rfloor phi '(u) , du, сумма _ {n = 1} ^ { infty} phi (n) & = lim _ {x to infty} { bigl (} lfloor x rfloor phi (x) { bigr)} - int _ {1} ^ { infty} lfloor u rfloor phi '(u) , du, end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/164274453074f24a341d32b0cf98bbc37f4301a3)
предполагая, что оба члена в правой части существуют и конечны.
Формула суммирования Абеля может быть обобщена на случай, когда
считается непрерывным только в том случае, если интеграл интерпретируется как Интеграл Римана – Стилтьеса.:
![{ Displaystyle сумма _ {Икс <п Leq у} а_ {п} фи (п) = А (у) фи (у) -А (х) фи (х) - int _ {х} ^ {y} A (u) , d phi (u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d8999b207d45b7f31e780fbd324c078f2a8616c)
Принимая
быть функцией частичной суммы, связанной с некоторой последовательностью, это приводит к суммирование по частям формула.
Примеры
Гармонические числа
Если
за
и
тогда
и формула дает
![{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n}} = { frac { lfloor x rfloor} {x}} + int _ {1 } ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {2}}} , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e966bf1bc81546a784feb2929505ebec06a95d4e)
Левая часть - это номер гармоники
.
Представление дзета-функции Римана
Исправить комплексное число
. Если
за
и
тогда
и формула становится
![{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { lfloor x rfloor} { frac {1} {n ^ {s}}} = { frac { lfloor x rfloor} {x ^ {s} }} + s int _ {1} ^ {x} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6034fce12c327e7a78053bed98adc1834a8ae8d)
Если
, то предел при
существует и дает формулу
![{ displaystyle zeta (s) = s int _ {1} ^ { infty} { frac { lfloor u rfloor} {u ^ {1 + s}}} , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0c1f0bd82e545d17a1a606343870436525b75e)
Это может быть использовано для вывода теоремы Дирихле о том, что
имеет простой столб с остаток 1 в s = 1.
Взаимная дзета-функция Римана
Технику из предыдущего примера можно применить и к другим Серия Дирихле. Если
это Функция Мёбиуса и
, тогда
является Функция Мертенса и
![{ displaystyle { frac {1} { zeta (s)}} = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { mu (n)} {n ^ {s}}} = s int _ {1} ^ { infty} { frac {M (u)} {u ^ {1 + s}}} , du.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1702bc225db7c6f60e8bdc1276465db2e52c9e16)
Эта формула верна для
.
Смотрите также
Рекомендации