Аффинный грассманиан (многообразие) - Affine Grassmannian (manifold)

В математика, есть два различных значения термина аффинный грассманиан. В одном это многообразие всех k-размерный аффинные подпространства из р^п (описано на этой странице), а на другой аффинный грассманиан является фактором группового кольца, основанного на формальных рядах Лорана.

Формальное определение

Учитывая конечномерную векторное пространство V и неотрицательное целое число k, затем Графф_k(V) это топологическое пространство из всех аффинный k-мерные подпространства V.

Имеет естественную проекцию п: Графф_k(V) → Gr_k(V), Грассманиан всех линейных k-мерные подпространства V определяя п(U) быть переводом U в подпространство через начало координат. Эта проекция является расслоением, и если V дается внутренний продукт, волокно, содержащее U можно отождествить с ${ Displaystyle р (U) ^ { perp}}$ортогональное дополнение к п(UСледовательно, слои являются векторными пространствами, и проекция п это векторный набор над Грассманиан, что определяет многообразие структура на Graff_k(V).

Как однородное пространство, аффинный грассманиан п-мерное векторное пространство V можно отождествить с

${ displaystyle mathrm {Graff} _ {k} (V) simeq { frac {E (n)} {E (k) times O (n-k)}}}$

куда E(п) это Евклидова группа из р^п и O (м) это ортогональная группа на р^м. Отсюда следует, что размерность определяется как

${ displaystyle dim left [ mathrm {Graff} _ {k} (V) right] = (n-k) (k + 1) ,.}$

(Это соотношение легче вывести из определения следующего раздела, поскольку разница между количеством коэффициентов, (п−k)(п+1) и размерность линейной группы, действующей на уравнения, (п−k)².)

Связь с обычным грассманианом

Позволять (Икс₁,…,Икс_п) - обычные линейные координаты на р^п. потом р^п встроен в р^п+1 как аффинная гиперплоскость Икс_п+1 = 1. k-мерные аффинные подпространства р^п находятся во взаимно однозначном соответствии с (k+1) -мерные линейные подпространства р^п+1 находящиеся в общем положении относительно плоскости Икс_п+1 = 1. Действительно, a k-мерное аффинное подпространство р^п - геометрическое место решений ранга п − k система аффинных уравнений

${ displaystyle { begin {align} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} & vdots & a_ {nk , 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1}. End {align}}}$

Они определяют ранг п−k система линейный уравнения на р^п+1

${ displaystyle { begin {align} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} x_ {n + 1} & vdots & a_ {nk, 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1} x_ {n + 1}. end {выравнивается}} }$

решение которой есть (k + 1) -плоскость, которая при пересечении с Икс_п+1 = 1, является исходным k-самолет.

Из-за этого отождествления Графф (k,п) это Зарисский открытый набор в Gr (k + 1, п + 1).

Рекомендации

• Klain, Daniel A .; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность, Кембридж: Издательство Кембриджского университета