Дзета-функция Эйри - Википедия - Airy zeta function

В математика, то Дзета-функция Эйри, изученный Крэндалл (1996), является функцией, аналогичной функции Дзета-функция Римана и связанных с нулями Функция Эйри.

Определение

Функции Эйри Ai и Bi

Функция Эйри

${ displaystyle mathrm {Ai} (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} cos left ({ tfrac {1} {3}} т ^ {3} + xt right) , dt,}$

положительный для положительного Икс, но колеблется при отрицательных значениях Икс; последовательность значений Икс для которого Ai (Икс) = 0, отсортированные по абсолютным значениям, называются нулями Эйри и обозначаются а₁, а₂, ...

Дзета-функция Эйри - это функция, определяемая из этой последовательности нулей рядом

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (s) = sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {1} {| a_ {i} | ^ {s}}}. }$

Этот ряд сходится, когда реальная часть из s больше 3/2 и может быть увеличено на аналитическое продолжение к другим значениям s.

Оценка в целых числах

Как и дзета-функция Римана, значение которой ${ Displaystyle zeta (2) = pi ^ {2} / 6}$ это решение Базельская проблема, дзета-функция Эйри может быть точно вычислена при s = 2:

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (2) = sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {1} {a_ {i} ^ {2}}} = { гидроразрыв {3 ^ {5/3} Gamma ^ {4} ({ frac {2} {3}})} {4 pi ^ {2}}},}$

где Γ - Гамма-функция, непрерывный вариант факториал.Подобные оценки также возможны для больших целых значений s.

Предполагается, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри дает оценку от 1 до

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (1) = { frac {-3 ^ {- 2/3} Gamma ({ frac {2} {3}})} { Gamma ({ frac {4} {3}})}}.}$

Рекомендации

• Крэндалл, Ричард Э. (1996), "О квантовой дзета-функции", Журнал физики A: математические и общие, 29 (21): 6795–6816, Bibcode:1996JPhA ... 29.6795C, Дои:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN  0305-4470, МИСТЕР  1421901

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Дзета-функция Эйри". MathWorld.