Дзета-функция Аракавы-Канеко - Arakawa–Kaneko zeta function

В математика, то Дзета-функция Аракавы-Канеко является обобщением Дзета-функция Римана который генерирует особые значения полилогарифм функция.

Определение

Дзета-функция ${ displaystyle xi _ {k} (s)}$ определяется

{ displaystyle xi _ {k} (s) = { frac {1} { Gamma (s)}} int _ {0} ^ {+ infty} { frac {t ^ {s-1} } {e ^ {t} -1}} mathrm {Li} _ {k} (1-e ^ {- t}) , dt }

где Ли_k это k-й полилогарифм

{ displaystyle mathrm {Li} _ {k} (z) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {z ^ {n}} {n ^ {k}}} .}

Интеграл сходится при ${ Displaystyle Re (s)> 0}$ и ${ displaystyle xi _ {k} (s)}$ имеет аналитическое продолжение ко всей комплексной плоскости как вся функция.

Особый случай k = 1 дает ${ Displaystyle xi _ {1} (s) = s zeta (s + 1)}$ куда ${ displaystyle zeta}$ это Дзета-функция Римана.

Особый случай s = 1 замечательно также дает ${ Displaystyle хи _ {к} (1) = дзета (к + 1)}$ куда ${ displaystyle zeta}$ это Дзета-функция Римана.

Значения в целых числах связаны с множественная дзета-функция значения по

{ Displaystyle хи _ {к} (м) = дзета _ {м} ^ {*} (к, 1, ldots, 1)}

куда

{ displaystyle zeta _ {n} ^ {*} (k_ {1}, dots, k_ {n-1}, k_ {n}) = sum _ {0