Сбалансированный модуль - Balanced module

В подполе абстрактная алгебра известный как теория модулей, право р модуль M называется сбалансированный модуль (или говорят, что свойство двойного централизатора) если каждые эндоморфизм абелевой группы M который ездит со всеми р-эндоморфизмы M дается умножением на элемент кольца. Явно для любой добавки эндоморфизм ж, если фг = gf для каждого р эндоморфизм г, то существует р в р такой, что ж(Икс) = xr для всех Икс в M. В случае несбалансированных модулей будет такой ж это невозможно выразить таким образом.

На языке централизаторов сбалансированный модуль - это модуль, удовлетворяющий заключению теорема о двойном централизаторе, то есть единственные эндоморфизмы группы M ездить со всеми р эндоморфизмы M индуцированы умножением справа на элементы кольца.

Кольцо называется сбалансированный если все правильно р модуль сбалансирован.[1] Оказывается, что балансировка - это условие симметрии слева и справа на кольцах, и поэтому нет необходимости ставить перед ним префикс «слева» или «справа».

Изучение сбалансированных модулей и колец является результатом изучения Кольца QF-1 от С.Дж. Несбитт и Р. М. Тралл. Это исследование было продолжено в В. П. Камилло диссертацию, а затем получила полноценное развитие. Бумага (Длаб и Рингель, 1972 г. ) дает особенно широкий обзор с множеством примеров. В дополнение к этим ссылкам, К. Морита и Х. Тачикава также предоставили опубликованные и неопубликованные результаты. Неполный список авторов, вносящих вклад в теорию сбалансированных модулей и колец, можно найти в справочной литературе.

Примеры и свойства

Примеры
Свойства
  • «Сбалансированность» - это категориальное свойство модулей, т. Е. Сохраняется Эквивалентность Морита. Явно, если F(-) - эквивалентность Мориты из категории р модулей в категорию S модули, а если M сбалансирован, то F(M) сбалансирован.
  • Структура уравновешенных колец также полностью определена в (Длаб и Рингель, 1972 г. ) и обозначен в (Вера 1999, стр. 222–224).
  • Ввиду последнего пункта свойство быть сбалансированным кольцом является инвариантным свойством Мориты.
  • Вопрос о том, все ли кольца имеют конечно порожденные правые р модули сбалансированные уже ответил. Это условие оказывается эквивалентным кольцу р сбалансирован.[7]

Заметки

  1. ^ Определения сбалансированных колец и модулей можно найти в (Камилло 1970 ), (Каннингем и Раттер, 1972 г. ), (Длаб и Рингель, 1972 г. ), и (Вера 1999 ).
  2. ^ Бурбаки 1973, §5, № 4, Corrolaire 2.
  3. ^ Лам 2001, стр.37.
  4. ^ Камилло и Фуллер 1972.
  5. ^ Вера 1999, стр.223.
  6. ^ Камилло 1970, Теорема 21.
  7. ^ Длаб и Рингель, 1972 г..

использованная литература

  • Камилло, Виктор П. (1970), "Сбалансированные кольца и проблема Тралла", Пер. Амер. Математика. Soc., 149: 143–153, Дои:10.1090 / с0002-9947-1970-0260794-0, ISSN  0002-9947, Г-Н  0260794
  • Бурбаки, Николас (1973), Альгебре, гл. 8: Модули и полупростые Anneaux, п. 50, ISBN  978-2-7056-1261-0
  • Вера, Карл (1999), Кольца и вещи и прекрасный набор ассоциативной алгебры двадцатого века, Математические обзоры и монографии, 65, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. Xxxiv + 422, ISBN  0-8218-0993-8, Г-Н  1657671
  • Лам, Т. Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец, Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, Дои:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN  0-387-95183-0, Г-Н  1838439
  • Nesbitt, C.J .; Тралл, Р. М. (1946), "Некоторые кольцевые теоремы с приложениями к модулярным представлениям", Анна. математики., 2, 47 (3): 551–567, Дои:10.2307/1969092, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969092, Г-Н  0016760