Базовая подгруппа - Википедия - Basic subgroup

В абстрактная алгебра, а основная подгруппа это подгруппа из абелева группа который является прямая сумма из циклические подгруппы и удовлетворяет дальнейшим техническим условиям. Это понятие ввел Л.Я. Куликова (для п-группы ) и Ласло Фуксом (в общем) в попытке сформулировать теорию классификации бесконечных абелевых групп, выходящую за рамки Теоремы Прюфера. Это помогает свести проблему классификации к классификации возможных расширения между двумя хорошо изученными классами абелевых групп: прямые суммы циклических групп и делимые группы.

Определение и свойства

А подгруппа, B, из абелева группа, А, называется п-базовый, для фиксированного простое число, п, если выполняются следующие условия:

  1. B прямая сумма циклические группы порядка пп и бесконечные циклические группы;
  2. B это п-чистая подгруппа из А;
  3. Фактор-группа, А/B, это п-делимая группа.

Из условий 1–3 следует, что подгруппа, B, является Хаусдорф в п-адическая топология B, что к тому же совпадает с топологией индуцированный из А, и это B является плотный в А. Выбор генератора в каждом циклическом прямом слагаемом B создает п-основа из B, что аналогично основа из векторное пространство или свободная абелева группа.

Каждая абелева группа, А, содержит п-основные подгруппы для каждой п, и любые 2 п-основные подгруппы А изоморфны. Абелевы группы, содержащие единственное п-основная подгруппа полностью охарактеризована. В случае п-группы они либо делимый или же ограниченный; т.е. имеют ограниченный показатель. Вообще говоря, класс изоморфизма фактора А/B основной подгруппой, B, может зависеть от B.

Обобщение на модули

Понятие о п-основная подгруппа в абелевой п-группа допускает прямое обобщение на модули над главная идеальная область. Существование такого базовый подмодуль и единственность его типа изоморфизма сохраняется.[нужна цитата ]

Рекомендации

  • Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, т. я. Чистая и прикладная математика, Vol. 36. Нью-Йорк – Лондон: Academic Press. МИСТЕР0255673
  • Л.Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности Матем. Сб., 16 (1945), 129–162
  • Курош, А.Г. (1960), Теория групп, Нью-Йорк: Челси, МИСТЕР  0109842