Ягодное соединение и кривизна - Berry connection and curvature

В физике Ягодное соединение и Кривизна ягод являются взаимосвязанными понятиями, которые можно рассматривать, соответственно, как локальный калибровочный потенциал и калибровочное поле, связанное с Ягодная фаза или геометрическая фаза. Эти концепции были введены Майкл Берри в статье, опубликованной в 1984 г.^[1] подчеркивая, как геометрические фазы обеспечивают мощную объединяющую концепцию в нескольких ветвях классический и квантовая физика.

Фаза Берри и циклическая адиабатическая эволюция

В квантовой механике фаза Берри возникает в циклическом адиабатический эволюция. Квантовый адиабатическая теорема применяется к системе, чья Гамильтониан ${ Displaystyle Н ( mathbf {R})}$ зависит от (векторного) параметра ${ displaystyle mathbf {R}}$ это меняется со временем ${ displaystyle t}$ . Если ${ displaystyle n}$ й собственное значение ${ Displaystyle varepsilon _ {п} ( mathbf {R})}$ остается невырожденным всюду по пути, а изменение во времени т достаточно медленный, то система изначально в собственное состояние ${ Displaystyle , | N ( mathbf {R} (0)) rangle}$ останется в мгновенном собственном состоянии ${ Displaystyle , | N ( mathbf {R} (т)) rangle}$ гамильтониана ${ Displaystyle , ЧАС ( mathbf {R} (т))}$ , вплоть до фазы, на протяжении всего процесса. Что касается фазы, состояние во времени т можно записать как^[2]

{ displaystyle | Psi _ {n} (t) rangle = e ^ {i gamma _ {n} (t)} , e ^ {- {i over hbar} int _ {0} ^ {t} dt ' varepsilon _ {n} ( mathbf {R} (t'))} , | n ( mathbf {R} (t)) rangle,}

где второй экспоненциальный член - это «динамический фазовый фактор». Первый экспоненциальный член - это геометрический член, причем ${ displaystyle gamma _ {n}}$ фаза Берри. Из требования, чтобы ${ Displaystyle | пси _ {п} (т) rangle}$ удовлетворить нестационарное уравнение Шредингера, можно показать, что

{ displaystyle gamma _ {n} (t) = я int _ {0} ^ {t} dt ', langle n ( mathbf {R} (t')) | {d over dt '} | n ( mathbf {R} (t ')) rangle = i int _ { mathbf {R} (0)} ^ { mathbf {R} (t)} d mathbf {R} , langle n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf {R}) rangle,}

это означает, что фаза Берри зависит только от пути в пространстве параметров, а не от скорости, с которой проходит путь.

В случае циклической эволюции по замкнутому пути ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ такой, что ${ Displaystyle mathbf {R} (T) = mathbf {R} (0)}$ , фаза Берри замкнутого пути есть

{ displaystyle gamma _ {n} = я oint _ { mathcal {C}} d mathbf {R} , langle n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf {R}) rangle.}

Примером физической системы, в которой электрон движется по замкнутой траектории, является циклотронное движение (подробности приведены на странице Ягодная фаза ). Необходимо учитывать фазу Берри, чтобы получить правильное условие квантования.

Преобразование датчика

А калибровочное преобразование может быть выполнено

{ Displaystyle | { тильда {п}} ( mathbf {R}) rangle = е ^ {- я бета ( mathbf {R})} | п ( mathbf {R}) rangle}

к новому набору состояний, которые отличаются от исходных только на ${ displaystyle mathbf {R}}$ -зависимый фазовый коэффициент. Это изменяет фазу Берри открытого пути на ${ Displaystyle { тильда { гамма}} _ {п} (т) = гамма _ {п} (т) + бета (т) - бета (0)}$ . Для замкнутого пути непрерывность требует, чтобы ${ Displaystyle бета (Т) - бета (0) = 2 пи м}$ ( ${ displaystyle m}$ целое число), и отсюда следует, что ${ displaystyle gamma _ {n}}$ инвариантен по модулю ${ displaystyle 2 pi}$ при произвольном калибровочном преобразовании.

Ягодное соединение

Фаза Берри замкнутого пути, определенная выше, может быть выражена как

{ Displaystyle gamma _ {п} = int _ { mathcal {C}} d mathbf {R} cdot { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R})}

куда

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R}) = i langle n ( mathbf {R}) | nabla _ { mathbf {R}} | n ( mathbf { R}) rangle}

- вектор-функция, известная как связность Берри (или потенциал Берри). Связь Берри зависит от калибра и преобразуется как ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} _ {n} ( mathbf {R}) = { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R}) + nabla _ { mathbf {R} ,} beta ( mathbf {R})}$ . Следовательно, местная связь Берри ${ Displaystyle { mathcal {A}} _ {п} ( mathbf {R})}$ никогда не может быть физически наблюдаемым. Однако его интеграл по замкнутому пути, фаза Берри ${ displaystyle gamma _ {n}}$ , калибровочно-инвариантно с точностью до целого кратного ${ displaystyle 2 pi}$ . Таким образом, ${ Displaystyle е ^ {я гамма _ {п}}}$ абсолютно калибровочно-инвариантна и может быть связана с физическими наблюдаемыми.

Кривизна ягод

Кривизна Берри - это антисимметричный тензор второго ранга, полученный из связности Берри через

{ displaystyle Omega _ {n, mu nu} ( mathbf {R}) = { partial over partial R ^ { mu}} { mathcal {A}} _ {n, nu} ( mathbf {R}) - { partial over partial R ^ { nu}} { mathcal {A}} _ {n, mu} ( mathbf {R}).}

В трехмерном пространстве параметров кривизну Берри можно записать в виде псевдовектор форма

{ displaystyle mathbf { Omega} _ {n} ( mathbf {R}) = nabla _ { mathbf {R}} times { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {R} ).}

Тензорная и псевдовекторная формы кривизны Берри связаны между собой соотношением Леви-Чивита антисимметричный тензор как ${ displaystyle Omega _ {n, mu nu} = epsilon _ { mu nu xi} , mathbf { Omega} _ {n, xi}}$ . В отличие от связи Берри, которая становится физической только после интегрирования по замкнутому пути, кривизна Берри является калибровочно-инвариантным локальным проявлением геометрических свойств волновых функций в пространстве параметров и оказалась важным физическим ингредиентом для понимание множества электронных свойств.^[3]^[4]

Для закрытого пути ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ который образует границу поверхности ${ Displaystyle { mathcal {S}}}$ , фаза Берри замкнутого пути может быть переписана с помощью Теорема Стокса в качестве

{ displaystyle gamma _ {n} = int _ { mathcal {S}} d mathbf {S} cdot mathbf { Omega} _ {n} ( mathbf {R}).}

Если поверхность является замкнутым многообразием, граничный член обращается в нуль, но неопределенность граничного члена по модулю ${ displaystyle 2 pi}$ проявляется в Теорема Черна, который утверждает, что интеграл кривизны Берри по замкнутому многообразию квантован в единицах ${ displaystyle 2 pi}$ . Это так называемый номер Номер Черна, и необходим для понимания различных эффектов квантования.

Наконец, обратите внимание, что кривизна Берри также может быть записана как сумма по всем другим собственным состояниям в форме

{ displaystyle Omega _ {n, mu nu} ( mathbf {R}) = i sum _ {n ' neq n} { langle n | ( partial H / partial R _ { mu} ) | n ' rangle langle n' | ( partial H / partial R _ { nu}) | n rangle - ( nu leftrightarrow mu) over ( varepsilon _ {n} - varepsilon _ {n '}) ^ {2}}.}

Пример: спинор в магнитном поле

Гамильтониан частицы со спином 1/2 в магнитное поле можно записать как^[2]

{ Displaystyle Н = му mathbf { sigma} cdot mathbf {B},}

куда ${ Displaystyle mathbf { sigma}}$ обозначить Матрицы Паули, ${ displaystyle mu}$ это магнитный момент, и B - магнитное поле. В трех измерениях собственные состояния имеют энергии ${ Displaystyle pm mu B}$ а их собственные векторы равны

{ displaystyle | u _ {-} rangle = { begin {pmatrix} sin { theta over 2} e ^ {- i phi} - cos { theta over 2} end {pmatrix }}, | u _ {+} rangle = { begin {pmatrix} cos { theta over 2} e ^ {- i phi} sin { theta over 2} end {pmatrix} }.}

Теперь рассмотрим ${ displaystyle | u _ {-} rangle}$ государственный. Его Берри-связь может быть вычислена как ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { theta} = langle u | я partial _ { theta} u rangle = 0,}$ ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { phi} = langle u | я partial _ { phi} u rangle = sin ^ {2} { theta over 2}}$ , а кривизна Берри равна ${ displaystyle Omega _ { theta phi} = partial _ { theta} { mathcal {A}} _ { phi} - partial _ { phi} { mathcal {A}} _ { theta} = {1 over 2} sin theta.}$ Если мы выберем новый калибр, умножив ${ displaystyle | u _ {-} rangle}$ к ${ displaystyle e ^ {я phi}}$ , связи Берри ${ Displaystyle { mathcal {A}} _ { theta} = 0}$ и ${ displaystyle { mathcal {A}} _ { phi} = - cos ^ {2} { theta over 2}}$ , а кривизна Берри остается прежней. Это согласуется с выводом о том, что связь Берри зависит от калибровки, а кривизна Берри - нет.

Кривизна Берри на телесный угол определяется выражением ${ Displaystyle { overline { Omega}} _ { theta phi} = Omega _ { theta phi} / sin theta = 1/2}$ . В этом случае фаза Берри, соответствующая любому заданному пути на единичной сфере ${ Displaystyle { mathcal {S}} ^ {2}}$ в пространстве с магнитным полем составляет лишь половину телесного угла, образуемого траекторией. Следовательно, интеграл кривизны Берри по всей сфере равен точно ${ displaystyle 2 pi}$ , так что число Черна равно единице в соответствии с теоремой Черна.

Приложения в кристаллах

Фаза Берри играет важную роль в современных исследованиях электронных свойств кристаллических твердых тел.^[4] и в теории квантовый эффект холла.^[5]Периодичность кристаллического потенциала позволяет применять Теорема Блоха, который утверждает, что собственные состояния гамильтониана принимают вид

{ displaystyle psi _ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) = e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {r}} u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}),}

куда ${ displaystyle n}$ - индекс полосы, ${ displaystyle mathbf {k}}$ волновой вектор в взаимное пространство (Зона Бриллюэна ), и ${ Displaystyle и_ {п mathbf {k}} ( mathbf {r})}$ является периодической функцией ${ displaystyle mathbf {r}}$ . Затем, позволяя ${ displaystyle mathbf {k}}$ играть роль параметра ${ displaystyle mathbf {R}}$ , можно определить фазы Берри, связи и кривизны в обратном пространстве. Например, связь Берри в обратном пространстве есть

{ displaystyle { mathcal {A}} _ {n} ( mathbf {k}) = я langle u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) | nabla _ { mathbf {k }} | u_ {n mathbf {k}} ( mathbf {r}) rangle.}

Поскольку из теоремы Блоха также следует, что само обратное пространство замкнуто, а зона Бриллюэна имеет топологию 3-тора в трех измерениях, требования интегрирования по замкнутому контуру или многообразию могут быть легко выполнены. Таким образом, такие свойства, как электрическая поляризация, орбитальный намагничивание, аномальная холловская проводимость, а орбитальная магнитоэлектрическая связь может быть выражена через фазы Берри, связи и кривизны.^[4]^[6]^[7]

внешняя ссылка

Квантовая фаза, пять лет спустя. М. Берри.
Фазы Берри и кривизна в теории электронной структуры Выступление Д. Вандербильта.
Берриология, орбитальные магнитоэлектрические эффекты и топологические изоляторы - Выступление Д. Вандербильта.

[1] Берри, М. В. (1984). «Квантовые фазовые факторы, сопровождающие адиабатические изменения». Труды Королевского общества А. 392 (1802): 45–57. Bibcode:1984RSPSA.392 ... 45B. Дои:10.1098 / rspa.1984.0023.

[Sakurai-2] а ^б Сакураи, Дж. Дж. (2005). Современная квантовая механика. Исправленное издание. Аддисон-Уэсли.

[resta2000-3] Реста, Раффаэле (2000). «Проявления фазы Берри в молекулах и конденсированных средах». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 12 (9): R107 – R143. Bibcode:2000JPCM ... 12R.107R. Дои:10.1088/0953-8984/12/9/201. S2CID 55261008.

[BerryMod-4] а ^б ^c Сяо, Ди; Чанг, Мин-Че; Ниу, Цянь (июль 2010 г.). «Влияние фазы Берри на электронные свойства». Ред. Мод. Phys. 82 (3): 1959–2007. arXiv:0907.2021. Bibcode:2010RvMP ... 82.1959X. Дои:10.1103 / RevModPhys.82.1959.

[5] Таулесс, Д. Дж .; Кохмото, М .; Найтингейл, М. П .; den Nijs, M. (август 1982 г.). «Квантованная холловская проводимость в двумерном периодическом потенциале». Phys. Rev. Lett. Американское физическое общество. 49 (6): 405–408. Bibcode:1982ПхРвЛ..49..405Т. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.405.

[6] Чанг, Мин-Че; Ню, Цянь (2008). «Кривизна Берри, орбитальный момент и эффективная квантовая теория электронов в электромагнитных полях». Журнал физики: конденсированное вещество. 20 (19): 193202. Bibcode:2008JPCM ... 20s3202C. Дои:10.1088/0953-8984/20/19/193202.

[resta2010-7] Реста, Раффаэле (2010). «Электрическая поляризация и орбитальная намагниченность: современные теории». J. Phys .: Condens. Иметь значение. 22 (12): 123201. Bibcode:2010JPCM ... 22l3201R. Дои:10.1088/0953-8984/22/12/123201. PMID 21389484. S2CID 18645988.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]