Бифуркация Богданова – Такенса - Bogdanov–Takens bifurcation

Бифуркационные диаграммы с параметрами β₁, β₂ = (сверху слева направо вниз): (−1,1), (1/4, −1), (1,0), (0,0), (−6 / 25, −1), (0,1).

В теория бифуркации, поле внутри математика, а Бифуркация Богданова – Такенса хорошо изученный пример бифуркации с совместное измерение два, что означает, что для возникновения бифуркации необходимо варьировать два параметра. Он назван в честь Рифкат Богданов и Флорис Такенс, которые независимо и одновременно описали эту бифуркацию.

Система y ' = ж(у) претерпевает бифуркацию Богданова – Такенса, если она имеет неподвижную точку и линеаризацию ж вокруг этой точки есть двойной собственное значение в нуле (при выполнении некоторых технических условий невырожденности).

Рядом происходят три бифуркации коразмерности один: бифуркация седло-узел, Бифуркация Андронова – Хопфа и гомоклиническая бифуркация. Все ассоциированные бифуркационные кривые пересекаются на бифуркации Богданова – Такенса.

В нормальная форма бифуркации Богданова – Такенса есть

${ displaystyle { begin {align} y_ {1} '& = y_ {2}, y_ {2}' & = beta _ {1} + beta _ {2} y_ {1} + y_ { 1} ^ {2} pm y_ {1} y_ {2}. End {align}}}$

Существуют две вырожденные бифуркации Такенса – Богданова коразмерности три, также известные как Дюмортье – Руссари – Сотомайор бифуркации.

использованная литература

• Богданов Р. "Бифуркации предельного цикла для семейства векторных полей на плоскости". Selecta Math. Советская 1, 373–388, 1981.
• Кузнецов, Ю.А. Элементы прикладной теории бифуркаций. Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1995.
• Такенс, Ф. «Вынужденные колебания и бифуркации». Comm. Математика. Inst. Rijksuniv. Утрехт 2, 1–111, 1974.
• Дюмортье Ф., Руссари Р., Сотомайор Дж. И Золадек Х., Бифуркации плоских векторных полей, Конспект лекций по математике. т. 1480, 1–164, Springer-Verlag (1991).

внешние ссылки

• Гукенхаймер, Джон; Юрий Александрович Кузнецов (2007). «Бифуркация Богданова – Такенса». Scholarpedia. Получено 2007-03-09.