Функции Бриллюэна и Ланжевена - Википедия - Brillouin and Langevin functions

В Функции Бриллюэна и Ланжевена пара специальные функции которые появляются при изучении идеализированного парамагнитный материал в статистическая механика.

Функция Бриллюэна

В Функция Бриллюэна[1][2] - специальная функция, определяемая следующим уравнением:

Функция обычно применяется (см. Ниже) в контексте, где Икс это реальная переменная и J является целым положительным или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, приближаясь к +1 как и -1 как .

Эта функция наиболее известна тем, что возникает при вычислении намагничивание идеального парамагнетик. В частности, он описывает зависимость намагниченности на прикладных магнитное поле и квантовое число полного углового момента J микроскопического магнитные моменты материала. Намагниченность определяется по формуле:[1]

куда

  • - количество атомов в единице объема,
  • то g-фактор,
  • то Магнетон Бора,
  • это соотношение Zeeman энергия магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии :[1]

Обратите внимание, что в системе единиц СИ в Tesla означает магнитное поле, , куда вспомогательное магнитное поле в А / м, это проницаемость вакуума.

Такач[3] предложил следующее приближение к обратной функции Бриллюэна:

где константы и определены как

Функция Ланжевена

Функция Ланжевена (синяя линия) по сравнению с (пурпурная линия).

В классическом пределе моменты могут быть непрерывно выровнены по полю и может принимать все значения (). Затем функция Бриллюэна упрощается до Функция Ланжевена, названный в честь Поль Ланжевен:

Для малых значений Икс, функция Ланжевена может быть аппроксимирована усечением ее Серия Тейлор:

Альтернативное приближение с лучшими характеристиками может быть получено изНепрерывная дробь Ламберта расширение танх (Икс):

Для достаточно маленьких Икс, оба приближения численно лучше, чем прямая оценка фактического аналитического выражения, поскольку последнее страдает потеря значимости.

Обратная функция Ланжевена L−1(Икс) определено на открытом интервале (−1, 1). Для малых значений Икс, его можно аппроксимировать усечением его Серия Тейлор[4]

и по Аппроксимация Паде

Графики относительной погрешности при x ∈ [0, 1) для приближений Коэна и Едынака

Поскольку эта функция не имеет замкнутой формы, полезно иметь приближения, действительные для произвольных значений Икс. Одно популярное приближение, действующее во всем диапазоне (−1, 1), было опубликовано А. Коэном:[5]

Это имеет максимальную относительную погрешность 4,9% в окрестности Икс = ±0.8. Большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную Р. Едынак:[6]

Годен до Икс ≥ 0. Максимальная относительная ошибка этого приближения составляет 1,5% в окрестности x = 0,85. Еще большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную М. Крегером:[7]

Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет менее 0,28%. Более точное приближение сообщил Р. Петросян:[8]

Годен до Икс ≥ 0. Максимальная относительная ошибка для приведенной выше формулы составляет менее 0,18%.[8]

Новое приближение Р. Едынака,[9] является наилучшим заявленным приближением на сложности 11:

Годен до Икс ≥ 0. Его максимальная относительная погрешность составляет менее 0,076%.[9]

Современная диаграмма аппроксимаций обратной функции Ланжевена представлена ​​на рисунке ниже. Это верно для аппроксимаций рациональных / Паде,[7][9]

Современная диаграмма аппроксимаций обратной функции Ланжевена,[7][9]

Недавно опубликованная статья Р. Едынака,[10] предоставляет ряд оптимальных приближений к обратной функции Ланжевена. В таблице ниже представлены результаты с правильными асимптотиками.[7][9][10].


Сравнение относительных ошибок для различных оптимальных рациональных приближений, которые были вычислены с ограничениями (Приложение 8, Таблица 1)[10]

СложностьОптимальное приближениеМаксимальная относительная погрешность [%]
313
40.95
50.56
60.16
70.082


Также недавно Бенитес и Монтанс предложили эффективный аппроксимант точности, близкой к машинной, на основе сплайн-интерполяции:[11] где также предоставляется код Matlab для генерации аппроксимации на основе сплайнов и для сравнения многих из ранее предложенных аппроксимаций во всей области функций.

Предел высокой температуры

Когда т.е. когда мала, выражение намагниченности можно аппроксимировать Закон Кюри:

куда является константой. Можно отметить, что - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высокого поля

Когда , функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается, когда магнитные моменты полностью совпадают с приложенным полем:

Рекомендации

  1. ^ а б c d К. Киттель, Введение в физику твердого тела (8-е изд.), Страницы 303-4 ISBN  978-0-471-41526-8
  2. ^ Дарби, М. (1967). «Таблицы функции Бриллюэна и родственной функции для спонтанной намагниченности». Br. J. Appl. Phys. 18 (10): 1415–1417. Bibcode:1967BJAP ... 18.1415D. Дои:10.1088/0508-3443/18/10/307.
  3. ^ Такач, Джено (2016). «Приближения Бриллюэна и его обратная функция». КОМПЕЛ. 35 (6): 2095. Дои:10.1108 / COMPEL-06-2016-0278.
  4. ^ Johal, A. S .; Дунстан, Д. Дж. (2007). «Энергетические функции резины от микроскопических потенциалов». Журнал прикладной физики. 101 (8): 084917. Bibcode:2007JAP ... 101х4917J. Дои:10.1063/1.2723870.
  5. ^ Коэн, А. (1991). «Аппроксимация Паде обратной функции Ланжевена». Rheologica Acta. 30 (3): 270–273. Дои:10.1007 / BF00366640. S2CID  95818330.
  6. ^ Едынак Р. (2015). "Возвращение к аппроксимации обратной функции Ланжевена". Rheologica Acta. 54 (1): 29–39. Дои:10.1007 / s00397-014-0802-2.
  7. ^ а б c d Крегер, М. (2015). «Простые, допустимые и точные аппроксимации обратных функций Ланжевена и Бриллюэна, актуальные для сильных деформаций и течений полимеров». J Механизм неньютонских жидкостей. 223: 77–87. Дои:10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007.
  8. ^ а б Петросян, Р. (2016). «Улучшенные приближения для некоторых моделей удлинения полимеров». Rheologica Acta. 56: 21–26. arXiv:1606.02519. Дои:10.1007 / s00397-016-0977-9. S2CID  100350117.
  9. ^ а б c d е Едынак, Р. (2017). «Новые факты о приближении обратной функции Ланжевена». Журнал механики неньютоновской жидкости. 249: 8–25. Дои:10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003.
  10. ^ а б c Едынак, Р. (2018). «Комплексное исследование математических методов, используемых для аппроксимации обратной функции Ланжевена». Математика и механика твердого тела. 24 (7): 1–25. Дои:10.1177/1081286518811395. S2CID  125370646.
  11. ^ Benítez, J.M .; Монтанс, Ф.Дж. (2018). «Простая и эффективная численная процедура для вычисления обратной функции Ланжевена с высокой точностью». Журнал механики неньютоновской жидкости. 261: 153–163. arXiv:1806.08068. Дои:10.1016 / j.jnnfm.2018.08.011. S2CID  119029096.