Теорема Карно (перпендикуляры) - Википедия - Carnots theorem (perpendiculars)

Теорема Карно для перпендикуляров на сторонах треугольника:
синяя область = красная область

Теорема Карно (названный в честь Лазар Карно ) описывает необходимое и достаточное условие для общей точки пересечения трех прямых, перпендикулярных (вытянутым) сторонам треугольника. Эту теорему также можно рассматривать как обобщение теорема Пифагора

Теорема

Для треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ с боков ${ displaystyle a, b, c}$ рассмотрим три прямые, которые перпендикулярны сторонам треугольника и пересекаются в общей точке ${ displaystyle F}$. Если ${ displaystyle P_ {a}, P_ {b}, P_ {c}}$ точки педалей этих трех перпендикуляров по бокам ${ displaystyle a, b, c}$, то имеет место следующее уравнение:

${ displaystyle | AP_ {c} | ^ {2} + | BP_ {a} | ^ {2} + | CP_ {b} | ^ {2} = | BP_ {c} | ^ {2} + | CP_ { a} | ^ {2} + | AP_ {b} | ^ {2}}$

Обратное утверждение выше также верно, то есть, если уравнение верно для точек педалей трех перпендикуляров на трех сторонах треугольника, то они пересекаются в общей точке. Следовательно, уравнение обеспечивает необходимое и достаточное условие.

Особые случаи

Если треугольник ${ Displaystyle треугольник ABC}$ имеет прямой угол в ${ displaystyle C}$ и точка пересечения ${ displaystyle F}$ расположен либо на ${ displaystyle A}$ или же ${ displaystyle B}$, то приведенное выше уравнение дает теорему Пифагора. Например, если ${ displaystyle F}$ совпадает с ${ displaystyle A}$ тогда это дает ${ displaystyle | AP_ {b} | = 0}$, ${ displaystyle | AP_ {c} | = 0}$, ${ displaystyle | CP_ {a} | = 0}$, ${ displaystyle | CP_ {b} | = b}$, ${ displaystyle | BP_ {a} | = a}$ и ${ displaystyle | BP_ {c} | = c}$. Следовательно, приведенное выше уравнение преобразуется в теорему Пифагора ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$.

Другое следствие - свойство серединных перпендикуляров треугольника пересекаться в общей точке. В случае серединного перпендикуляра у вас есть ${ displaystyle | AP_ {c} | = | BP_ {c} |}$, ${ displaystyle | BP_ {a} | = | CP_ {a} |}$ и ${ displaystyle | CP_ {b} | = | AP_ {b} |}$ и, следовательно, справедливо указанное выше уравнение. что означает, что все три срединных перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Рекомендации

• Вольгемут, Мартин, изд. (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger: Weitere Bellebte Beiträge von Matroids Matheplanet (на немецком). Гейдельберг: Spektrum Akademischer Verlag. С. 273–276. ISBN  9783827426079. OCLC  699828882.
• Альфред С. Посаментьер; Чарльз Т. Салкинд (1996). Сложные задачи геометрии. Нью-Йорк: Дувр. С. 85–86. ISBN  9780486134864. OCLC  829151719.

внешняя ссылка

• Флориан Модлер: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot at matheplanet.com (немецкий)