Тест сходимости Коши - Википедия - Cauchys convergence test

В Тест сходимости Коши это метод, используемый для проверки бесконечная серия за конвергенция. Он полагается на ограничивающие суммы терминов в серии. Этот критерий сходимости назван в честь Огюстен-Луи Коши кто опубликовал это в своем учебнике Cours d'Analyse 1821.[1]

Заявление

Серия

сходится тогда и только тогда, когда для каждого Существует натуральное число N такой, что

относится ко всем п > N и все п ≥ 1.[2]

Объяснение

(а) Сюжет Коши последовательность показано синим цветом, как против Если пространство, содержащее последовательность, заполнено, «конечный пункт назначения» этой последовательности (то есть предел) существует.
(б) Последовательность, не являющаяся Коши. В элементы последовательности не могут произвольно приблизиться друг к другу по мере ее продвижения.

Тест работает, потому что пространство р действительных чисел и пространства C комплексных чисел (с метрикой, заданной абсолютным значением) оба полный. Тогда серия сходящийся если и только если частичная сумма

это Последовательность Коши.

А последовательность действительных или комплексных чисел является последовательностью Коши тогда и только тогда, когда сходится (до некоторой точки a в р или же C).[3] Формальное определение гласит, что для каждого есть номер N, так что для всех п, м > N держит

Мы будем считать м > п и таким образом установить п = м − п.

Показывать, что последовательность является последовательностью Коши, полезно, поскольку нам не нужно знать предел рассматриваемой последовательности. Тест сходимости Коши можно использовать только в полные метрические пространства (Такие как р и C), которые являются пространствами, в которых сходятся все последовательности Коши. Нам нужно только показать, что его элементы становятся произвольно близкими друг к другу после конечной прогрессии в последовательности. Существуют компьютерные приложения последовательности Коши, в которых итеративный процесс может быть настроен для создания таких последовательностей.

Доказательство

Мы можем использовать результаты о сходимости последовательности частных сумм бесконечного ряда и применять их к сходимости самого бесконечного ряда. Одним из таких приложений является критерий Коши для любой реальной последовательности. , из приведенных выше результатов о сходимости следует, что бесконечная серия

сходится если и только если для каждого есть номер N, так что

m ≥ n ≥ N следует

[4]

Вероятно, самая интересная часть [этой теоремы] заключается в том, что условие Коши подразумевает существование предела: это действительно связано с полнотой вещественной прямой. Критерий Коши можно обобщить на множество ситуаций, которые могут быть в общих чертах можно сформулировать как «условие исчезновения колебаний эквивалентно сходимости».[5]

Эта статья включает материал из критерия Коши сходимости по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

Рекомендации

  1. ^ ср. ответ на вопрос «Происхождение теста сходимости Коши» сайта вопросов и ответов «История науки и математики»
  2. ^ Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа, стр.63. Спрингер, Нью-Йорк. ISBN  9781441928665
  3. ^ Уэйд, Уильям (2010). Введение в анализ. Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 59. ISBN  9780132296380.
  4. ^ Уэйд, Уильям (2010). Введение в анализ. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. п. 188. ISBN  9780132296380.
  5. ^ Энциклопедия математики. «Критерии Коши». Европейское математическое общество. Получено 4 марта 2014.