Теорема Коши (теория групп) - Википедия - Cauchys theorem (group theory)

В математика, конкретно теория групп, Теорема Коши заявляет, что если грамм это конечная группа и п это простое число разделение порядок из грамм (количество элементов в грамм), тогда грамм содержит элемент порядка п. То есть есть Икс в грамм такой, что п самый маленький положительный целое число с Иксп = е, куда е это элемент идентичности из грамм. Он назван в честь Огюстен-Луи Коши, который открыл его в 1845 году.[1][2]

Теорема связана с Теорема Лагранжа, в котором говорится, что порядок любого подгруппа конечной группы грамм делит порядок грамм. Из теоремы Коши следует, что для любого простого делителя п порядка грамм, существует подгруппа грамм чей заказ п- циклическая группа порожденная элементом теоремы Коши.

Теорема Коши обобщается Первая теорема Силова, откуда следует, что если пп это максимальная мощность п разделение порядка грамм, тогда грамм имеет подгруппу порядка пп (и используя тот факт, что п-группа разрешимый, можно показать, что грамм имеет подгруппы порядка пр для любого р меньше или равно п).

Заявление и доказательство

Многие тексты доказывают теорему с использованием сильная индукция и уравнение класса, хотя для доказательства теоремы в абелевский дело. Также можно вызвать групповые действия для доказательства.[3]

Теорема Коши — Позволять грамм быть конечная группа и п быть основной. Если п разделяет порядок из грамм, тогда грамм имеет элемент порядка п.

Доказательство 1

Сначала докажем частный случай, когда грамм является абелевский, а затем общий случай; оба доказательства проводятся индукцией по п = |грамм|, и в качестве начального случая п = п что тривиально, потому что любой неединичный элемент теперь имеет порядок п. Предположим сначала, что грамм абелева. Возьмите любой неидентификационный элемент а, и разреши ЧАС быть циклическая группа он производит. Если п делит |ЧАС|, тогда а|ЧАС|/п это элемент порядка п. Если п не делит |ЧАС|, то он делит порядок [грамм:ЧАС] из факторгруппа грамм/ЧАС, который, следовательно, содержит элемент порядка п по индуктивному предположению. Этот элемент - класс xH для некоторых Икс в грамм, и если м это порядок Икс в грамм, тогда Иксм = е в грамм дает (xH)м = eH в грамм/ЧАС, так п разделяет м; как прежде Иксм/п теперь элемент порядка п в грамм, завершая доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть Z быть центр из грамм, которая является абелевой подгруппой. Если п делит |Z|, тогда Z содержит элемент порядка п в случае абелевых групп, и этот элемент работает для грамм также. Итак, мы можем предположить, что п не делит порядок Z. С п делит |грамм|, и грамм дизъюнктное объединение Z и из классы сопряженности нецентральных элементов существует класс сопряженности нецентрального элемента а чей размер не делится на п. Но уравнение класса показывает, что размер [грамм : Cграмм(а)], так п делит порядок централизатор Cграмм(а) из а в грамм, которая является собственной подгруппой, поскольку а не является центральным. Эта подгруппа содержит элемент порядка п по индуктивной гипотезе, и все готово.

Доказательство 2

Это доказательство использует тот факт, что для любого действие (циклической) группы простого порядка п, возможны только размеры орбиты 1 и п, что непосредственно из теорема о стабилизаторе орбиты.

Набор, на котором будет действовать наша циклическая группа, - это множество

из п-наборы элементов грамм чей продукт (по порядку) дает личность. Такой п-tuple однозначно определяется всеми его компонентами, кроме последнего, поскольку последний элемент должен быть обратным произведению этих предыдущих элементов. Также видно, что те п − 1 элементы можно выбирать произвольно, поэтому Икс имеет |грамм|п−1 элементов, который делится на п.

Теперь из того, что в группе, если ab = е тогда также ба = е, отсюда следует, что любая циклическая перестановка компонент элемента Икс снова дает элемент Икс. Следовательно, можно определить действие циклической группы Cп порядка п на Икс циклическими перестановками компонентов, другими словами, когда выбранный генератор Cп отправляет

.

Как уже отмечалось, орбиты в Икс под этим действием либо размер 1, либо размер п. Первое происходит именно с этими кортежами для которого . Подсчет элементов Икс по орбитам и уменьшая по модулю п, видно, что количество элементов, удовлетворяющих делится на п. Но Икс = е один из таких элементов, поэтому должно быть не менее п − 1 другие решения для Икс, и эти решения являются элементами порядка п. Это завершает доказательство.

Использует

Практически непосредственным следствием теоремы Коши является полезная характеристика конечных п-группы, куда п это простое число. В частности, конечная группа грамм это п-группа (т.е. все ее элементы имеют порядок пk для некоторых натуральное число k) если и только если грамм есть заказ пп для некоторого натурального числа п. Абелев случай теоремы Коши можно использовать в индуктивном доказательстве.[4] из первой теоремы Силова, аналогично первому доказательству выше, хотя есть также доказательства, которые не делают этот частный случай отдельно.

Пример1

Позволять грамм конечная группа, где Икс2 = е для всего элемента Икс из грамм. потом грамм имеет заказ 2п для некоторого неотрицательного целого числа п. Позволять |грамм| является м. В случае м равно 1, то грамм = {е}. В случае м ≥ 2, если м имеет нечетный простой фактор п, грамм имеет элемент Икс куда Иксп = е из теоремы Коши. Это противоречит предположению. Следовательно м должно быть 2п.[5] Хорошо известный пример: Кляйн четыре группы.

Пример2

Абелевец простая группа либо {е} или же циклическая группа Cп чей порядок - простое число п. Позволять грамм абелева группа, то все ее подгруппы грамм находятся нормальные подгруппы. Так что если грамм простая группа, грамм имеет только нормальную подгруппу, которая либо {е} или же грамм. Если |грамм| = 1, тогда грамм является {е}. Это подходит. Если |грамм| ≥ 2, позволять аграмм не является е, циклическая группа а является подгруппой грамм и а не является {е}, тогда грамм = ⟨а. Позволять п это порядок а. Если п бесконечно, то

Так что в данном случае это не подходит. потом п конечно. Если п составной, п делится на простое число q что меньше чем п. По теореме Коши подгруппа ЧАС будет существовать чей порядок q, это не подходит. Следовательно, п должно быть простым числом.

Примечания

  1. ^ Коши 1845.
  2. ^ Коши 1932.
  3. ^ Маккей 1959.
  4. ^ Якобсон 2009, п. 80.
  5. ^ Конечные группы, где Икс2= e есть заказ 2п, Обмен стеками, 23.09.2015

Рекомендации

внешняя ссылка