Цеюань хайцзин - Википедия - Ceyuan haijing

Фигура мастера в Морское зеркало круговых измерений, что все проблемы используют. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Сеюань Хайцзин (упрощенный китайский : 测 圆 海 镜; традиционный китайский : 測 圓 海 鏡; пиньинь : cè yuán hǎi jìng; горит `` морское зеркало круговых измерений '') - трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь Юань Шу написано математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольская империя. Это набор из 692 формул и 170 задач, созданных на основе одной и той же главной диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. Часто в них участвуют два человека, которые идут по прямой, пока не увидят друг друга, не встретятся или не достигнут дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой - изучение сложных геометрических соотношений с помощью алгебры.

Большинство задач геометрии решаются полиномиальными уравнениями, которые представляются с помощью метода, называемого Тянь Юань Шу, «метод массива коэффициентов» или буквально «метод небесной неизвестности». Ли Чжи - самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен до него. Это позиционная система стержневые цифры представлять полиномиальные уравнения.

Сеюань Хайцзин был впервые представлен на западе британским протестантским христианским миссионером в Китае, Александр Вайли в его книге Заметки о китайской литературе, 1902 г. Он писал:

На первой странице изображен круг, заключенный в треугольник, разделенный на 15 фигур; затем даются определение и соотношения нескольких частей, а за ними следуют 170 задач, в которых принцип новой науки рассматривается как преимущество. На всем протяжении автора есть экспозиция и схолия.[1]

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1

Реконструированная схема кругового города в алфавитах

Схема круглого города

Монография начинается с основной диаграммы, которая называется Диаграмма Круглого города (圆 城 图 式). Он показывает круг, вписанный в прямоугольный треугольник, и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

  • TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL

C: Центр круга:

  • NCS: Вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南 северной стороны городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S ().
  • NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R (日)
  • WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает круг и линию TQ в точке W (, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (, восточная сторона городской стены).
  • WCEB: продолжение прямой WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
  • KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает прямую TQ в точке K (坤), гипотенузу TL в точке Y (月).
  • HEMV: вертикальная касательная к окружности в точке E, пересекает прямую LQ в точке H, гипотенуза в точке M (山, гора)
  • HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
  • Линия YS, вертикальная линия от Y пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина)
  • Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь)
  • RD, горизонтальная линия от R, пересекает линию TQ в точке D (旦, день)

Направления на север, юг, восток и запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему соглашению.

Треугольники и их стороны

Всего имеется пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением между треугольником TLQ, четырьмя горизонтальными линиями и четырьмя вертикальными линиями.

Названия этих прямоугольных треугольников и их стороны приведены в следующей таблице.

ЧислоИмяВершиныГипотенуза0cВертикальный0бПо горизонтали0а
1通 ТОНГ天地 乾 通 弦 (TL 天地)通 股 (TQ 天乾)通 勾 (LQ 地 乾)
2边 БИАН天 西川 边 弦 (TB 天 川)边 股 (TW 天 西)边 勾 (WB 西川)
3底 DI日 地 北 底 弦 (RL 日 地)底 股 (RN 日 北)底 勾 (LB 地 北)
4黄 广 ХУАНГУАН天山 金 黄 广 弦 (TM 天山)黄 广 股 (TJ 天 金)黄 广 勾 (MJ 山金)
5黄 长 ХУАНЧАНГ月 地 泉 黄 长 弦 (YL 月 地)黄 长 股 (YS 月 泉)黄 长 勾 (LS 地 泉)
6上 高 ШАНГАО天日 旦 上 高 弦 (TR 天日)上 高 股 (TD 天 旦)上 高 勾 (RD 日 旦)
7下 高 XIAGAO日 山 朱 下 高 弦 (RM 日 山)下 高 股 (RZ 日 朱)下 高 勾 (MZ 山 朱)
8上 平 ПЕРЕВОД月 川 青 上 平 弦 (YS 月 川)上 平 股 (YG 月 青)上 平 勾 (SG 川 青)
9下 平 СЯПИН川 地 夕 下 平 弦 (BL 川 地)下 平 股 (BJ 川 夕)下 平 勾 (LJ 地 夕)
10大 差 DACHA天 月 坤 大 差 弦 (TY 天 月)大 差 股 (TK 天 坤)大 差 勾 (YK 月 坤)
11小 差 XIAOCHA山地 艮 小 差 弦 (ML 山地)小 差 股 (MH 山 艮)小 差 勾 (LH 地 艮)
12皇 极 ХУАНДЖИ日 川 心 皇 极 弦 (RS 日 川)皇 极 股 (RC 日 心)皇 极 勾 (SC 川 心)
13太虚 TAIXU月 山 泛 太虚 弦 (YM 月 山)太虚 股 (YF 月 泛)太虚 勾 (MF 山 泛)
14明 МИН日月 南 明 弦 (RY 日月)明 股 (RS 日南)明 勾 (YS 月 南)
15叀 Чжуань山川 东 叀 弦 (MS 山川)叀 股 (ME 山东)叀 勾 (SE 川东)

В задачах от тома 2 до тома 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明 差», «разница MING» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника MING.
«叀 差», «разница ZHUANG» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ZHUANG».
«明 差 叀 差 并» означает «сумма разницы MING и разницы ZHUAN».

Длина отрезков линии

В этом разделе (今 问 正 数) перечислены длины отрезков, сумма и разность, а также их комбинации на диаграмме круглого города, учитывая, что радиус r вписанной окружности равен шаги ,.

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

  1. Гипотенеза
  2. По горизонтали
  3. Вертикальный
  4. : 勾股 和: сумма горизонтального и вертикального
  5. : 勾股 校: разница вертикального и горизонтального
  6. : 勾 弦 和: сумма горизонтали и гипотенузы
  7. : 勾 弦 校: разница гипотенузы и горизонтали
  8. : 股 弦 和: сумма гипотенузы и вертикали
  9. : 股 弦 校: разница гипотенузы и вертикали
  10. : 弦 校 和: сумма разности и гипотенузы
  11. : 弦 校 校: разность гипотенузы и разность
  12. : 弦 和 和: суммировать гипотенузу и сумму вертикального и горизонтального
  13. : 弦 和 校: разница суммы горизонтали и вертикали с гипотенузой

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора идентичных треугольников:

=,
=

то есть

;
;
;
;
;
;

Номера сегментов

Всего 15 x 13 = 195 терминов, их значения показаны в таблице 1:[2]

Таблица сегментов 1

Определения и формула

Разная формула

[3]

  1. = *
  2. =
  3. =
  4. =
  5. =
  6. =
  7. =
  8. =
  9. =
  10. = =

Пять сумм и пять отличий

  1. [4]

Ли Чжи вывел в общей сложности 692 формулы в хайцзине Сэйюань. Восемь формул неверны, все остальные верны[5]

В томах 2 и 12 содержится 170 задач, каждая из которых использует несколько выбранных из этой формулы для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. Фактически, существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающие полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка.[6]

Том 2

Этот том начинается с общей гипотезы[7]

Допустим, есть круглый город неизвестного диаметра. В этом городе четыре ворот, две дороги в западном направлении и две дороги в южном направлении за воротами, образующие квадрат, окружающий круглый город. Северо-западный угол квадрата - это точка Q, северо-восточный угол - это точка H, юго-восточный угол - это точка V, юго-западный угол - K. Все различные проблемы исследования описаны в этом и следующих томах.

Все последующие 170 задач представляют собой несколько отрезков, их сумму или разность, чтобы найти радиус или диаметр круглого города. Все задачи имеют более или менее одинаковый формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, иногда за которым следует пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанного круга

Первые десять задач были решены без использования тянь юань шу. Эти проблемы связаны с различными типами вписанного круга.

Вопрос 1
Двое мужчин A и B начинают движение из угла Q. A идет на восток 320 шагов и останавливается. B идет на юг 600 шагов и видит B. Каков диаметр круглого города?
Ответ: диаметр круглого городка 240 шагов.
Это проблема вписанного круга, связанная с
Алгоритм:
вопрос 2
Двое мужчин A и B стартуют у западных ворот. B идет на восток на 256 шагов, A идет на юг на 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?
Ответ 240 шагов
Это проблема вписанного круга, связанная с
Из таблицы 1 256 = ; 480 =
Алгоритм:
Вопрос 3
вписанный круг проблема, связанная с

Вопрос 4 : проблема вписанного круга, связанная с

Вопрос 5 : проблема вписанного круга, связанная с

Вопрос 6

Вопрос 7

Вопрос 8

Вопрос 9

Вопрос 10

Тянь Юань Шу

Циюань хайцзин том II Задача 14, подробное описание процедуры (草 曰)
Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «тянь юань один» как неизвестную переменную и создал два выражения в соответствии с разделом Определение и формула, затем приравняйте эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил проблему и получил ответ.
Вопрос 14:«Представьте, что человек выходит из Западных ворот и направляется на юг на 480 шагов и наталкивается на дерево. Затем он вышел из Северных ворот, направляясь на восток на 200 шагов, и увидел то же дерево. Каков радиус собственного круга?»。
Алгоритм: установите радиус равным единице Тянь юань, поместите счетные стержни представляя южный 480 шагов по полу, вычтите радиус тянь юаня, чтобы получить

Счетная палочка v-1.png
Счетная палочка v-4.pngСчетная палочка h8.pngСчетная палочка 0.png

Затем вычтите тянь юань из 200 шагов на восток, чтобы получить:

Счетная палочка v-1.png
Счетная палочка v2.pngСчетная палочка 0.pngСчетная палочка 0.png
умножьте эти два выражения, чтобы получить :
Счетная палочка v1.png
Счетная палочка h6.pngСчетная палочка h-8.pngСчетная палочка 0.png
Счетная палочка v9.pngСчетная палочка h6.pngСчетная палочка 0.pngСчетная палочка 0.pngСчетная палочка 0.png
Счетная палочка v2.png
Счетная палочка 0.png

то есть

таким образом:

Счетная палочка v-1.png
Счетная палочка h6.pngСчетная палочка h-8.pngСчетная палочка 0.png
Счетная палочка v9.pngСчетная палочка h6.pngСчетная палочка 0.pngСчетная палочка 0.pngСчетная палочка 0.png

Решите уравнение и получите

Том 3

17 проблем связанных с сегментом т.е. TW в [8]

В пары с , пары с и пары с в задачах с таким же номером тома 4. Другими словами, например, изменить проблемы 2 в томе 3 в превращает это в проблему 2 из 4 тома.[9]

Проблема #ДАННЫЙИксУравнение
1прямой расчет без тянь юаня
2d
3р
4d
5d
6р
7р
8р
9р
10р
11р
12
13
14
15р
16рассчитать по формуле для вписанного круга
17Рассчитайте по формуле для вписанного круга

Том 4

17 задач, учитывая и второй сегмент, найти диаметр круглого города.[10]

Q1234567891011121314151617
второй отрезок линии

Том 5

18 задач, учитывая[10]

Q123456789101112131415161718
второй отрезок линии

Том 6

18 задач.

Q1-11,13-19 задано, И второй отрезок прямой, найдите диаметр d.[10]
Q12 : данный и другой отрезок прямой, найдите диаметр d.
Q123456789101112131415161718
Данный
Второй отрезок линии

Том 7

18 задач, по двум отрезкам прямой найти диаметр круглого города[11]

QДанный
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

Том 8

За 17 задач по трем-восьми отрезкам или их сумме или разности можно найти диаметр круглого города.[12]

QДанный
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

Проблема 14

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Какой диаметр у круглого города?
Ответ: 120 шагов.

Алгоритм:[13]

Данный

: Сложите эти два элемента и разделите на 2; в соответствии с # Определения и формулы, это равняется разнице HUANGJI:

Пусть единица Тянь Юань - это горизонталь SHANGPING (SG):
=
(# Определение и формула)
С (Определение и формула)
(диаметр круглого городка),
Теперь умножьте длину RZ на
умножьте его на квадрат RS:
приравняем выражения для двух
таким образом
Мы получаем:

решаем его и получаем ;

Это соответствует горизонтали ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ 8-го треугольника в # Номера сегментов.[14]

Том 9

Часть I
Проблемыданный
1
2
3
4
Часть II
Проблемыданный
1
2
3
4
5
6
7
8

Том 10

8 задач[15]

ПроблемаДанный
1
2
3
4
5
6
7
8

Том 11

: Разное 18 задач :[16]

QДАННЫЙ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17Из книги Дунюань цзюжун
18Из Дунъюань цзюжун

Том 12

14 задач по дробям[17]

Проблемаданный
1=
2=
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13,
14

Исследование

В 1913 году французский математик Л. ван Хое написал статью о Сеюань-хайцзине. В 1982 году К. Хемла защитил кандидатскую диссертацию «Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye». 1983 г., профессор математики Сингапурского университета Лам Лэй Йонг: китайские полиномиальные уравнения в XIII веке。

Сноски

  1. ^ Александр Вайли, Заметки о китайской литературе, Шанхай, стр. 116, перепечатано издательством Kessinger Publishing.
  2. ^ Составлено из Kong Guoping p 62-66.
  3. ^ Бай Шаншу с. 24-25.
  4. ^ У Вэньцзюнь Глава II, стр. 80
  5. ^ Бай Шаншу, стр. 3, Предисловие
  6. ^ У Вэньцзюнь, стр. 87
  7. ^ Бай Шаншоу, стр. 153-154.
  8. ^ Ли Янь с. 75-88
  9. ^ Марцлофф, стр.147
  10. ^ а б c Ли Янь с. 88-101
  11. ^ Конг Гопин с.169-184
  12. ^ Кун Гопин стр192-208
  13. ^ Бай Шаншу, стр. 562-566.
  14. ^ Сноска: В задаче 14 тома 8 Ли Чжи останавливается на x = 64. Однако ответ очевиден, поскольку из формулы № 8 в # Разные формулы:, и из # Длина отрезков линии, таким образом , радиус круглого города можно легко получить. На самом деле проблема 6 из 11 - это как раз такой вопрос и, чтобы найти радиус круглого города.
  15. ^ Kong Guoping p220-224
  16. ^ Kong Guoping p234-248
  17. ^ P255-263

Рекомендации

  • Жан-Клод Марцлофф, История китайской математики, Springer 1997 г. ISBN  3-540-33782-2
  • Конг Гопин, Гид по Сеюан Хайцзин, Hubei Education Press, 1966 孔国平. 《测 圆 海 镜 今 导读》 《今 问 正》 湖北 教育 Version社. 1995 г.
  • Бай Шаншу: современный китайский перевод Ли Йе Сеюань Хайцзин. Shandong Education Press 1985 г. 李 冶 著 白 尚 恕 译 钟善基 校. 《测 圆 海 镜 今译》 山东 教育 Version. 1985 г.
  • У Вэньцзюнь Большая серия истории китайской математики Том 6 文俊 主编 《中国 数学 史 大 系》 第六卷
  • Ли Янь, Историческое исследование Сэйюань Хайцзин, собрание сочинений Ли Яня и Цянь Баоцун том 8 《李 俨. 钱 宝 琮 科学 史 全集》 卷 8 , 李 俨 《测 圆 海 研究 历程 考》