Неравенство сумм Чебышёва - Википедия - Chebyshevs sum inequality

В математика, Неравенство сумм Чебышева, названный в честь Пафнутый Чебышев, утверждает, что если

и

тогда

Аналогично, если

и

тогда

[1]

Доказательство

Рассмотрим сумму

Две последовательности не возрастают, поэтому аj − аk и бj − бk иметь тот же знак для любого jk. Следовательно S ≥ 0.

Раскрывая скобки, выводим:

откуда

Альтернативное доказательство просто получается с помощью перестановочное неравенство, пишу это

Непрерывная версия

Существует также непрерывная версия неравенства сумм Чебышева:

Если ж и грамм являются действительными, интегрируемыми функциями над [0,1], обе являются невозрастающими или оба неубывающими, то

с обратным неравенством, если одно не увеличивается, а другое не убывает.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Харди, Г. Х .; Littlewood, J. E .; Полиа, Г. (1988). Неравенства. Кембриджская математическая библиотека. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-35880-9. МИСТЕР  0944909.