Сорт чау - Википедия - Chow variety

В математика, в частности в области алгебраическая геометрия, а Сорт чау является алгебраическое многообразие точки которого соответствуют всем алгебраическим циклам данного проективного пространства данной размерности и степени. Другими словами, это пространство модулей с разнообразной структурой, параметризующей все -мерные и алгебраические циклы степени в .

Эстрадный состав дается его Координаты Чоу, что обеспечивает Встраивание чау отправка в проективное пространство. Координаты Чоу являются обобщением Координаты Плюккера, обращаясь к (к-1)-размерный алгебраические многообразия степени в -размерный проективное пространство . Они названы в честь Вэй-Лян Чоу (周 煒 良).

Обзор

Грассманово многообразие параметризует -мерное проективное подпространство в . Другими словами, он параметризует все алгебраические подмногообразия степени 1 в . Естественно искать пространство модулей степень параметризации подмногообразия, где .

В этой статье основным полем для наших разновидностей является поле комплексных чисел. То есть рассматриваемые нами геометрические объекты имеют степень алгебраические подмногообразия в -мерное комплексное проективное пространство .

В более общем плане мы можем рассматривать случай поля характеристики .

Алгебраические циклы

Вместо того, чтобы иметь дело просто с дипломом неприводимые подмногообразия в , мы рассматриваем так называемую степень алгебраические циклы.

А -мерный алгебраический цикл - это конечная формальная линейная комбинация над , обозначенный как

.

куда s есть -мерные неприводимые замкнутые подмногообразия в , и s - неотрицательные целые числа. Степень алгебраического цикла определяется как .

Обозначим как набор всех -мерные алгебраические циклы в . В частности, -мерный (коразмерность 1) алгебраический цикл называется эффективный делитель в .

Причина, по которой мы рассматриваем концепцию алгебраических циклов, заключается в том, что она может охватывать множество случаев подмногообразий, которые нас интересуют . Для неприводимого многообразия он может быть вырожден в несколько строк (например, гипербола можно выродить в две строки). Для приводимого многообразия это объединение конечного числа неприводимых подмногообразий. В этом смысле вполне естественно рассматривать не одно, а семейство разновидностей.

Формы Чау

Для построения разновидностей Чоу нам понадобится понятие Формы чау.

Позволять быть -размерная степень неприводимое подмногообразие , и разреши быть набором всех -мерные линейные подпространства, пересекающие в общая позиция из .

Набор на самом деле степень неприводимая гиперповерхность в грассманиане с точки зрения Координаты Плюккера, а определяющий полином (это многочлен с переменными Координаты Плюккера ) из называется Форма чау(или же Форма Кэли) X.

Точнее, пусть - однородное координатное кольцо в его Плюккеровское вложение (Фактически, является фактором кольца многочленов по идеалу, порожденному его Плюккеровские отношения ). С неприводимая степень гиперповерхность в , он будет определяться исчезающим множеством некоторого элемента который уникален с точностью до постоянного множителя. Этот элемент называется Форма чау из .

Форма Чоу алгебраического цикла определяется как

куда является ассоциированной формой Чжоу неприводимого подмногообразия .

Пример 1

Позволять быть кривой в . Связанная с ним гиперповерхность это множество всех пересекающихся прямых .

Пример 2

Позволять сам быть гиперповерхностью в , то грассманиан является и связанные это сам.

Пример 3

Позволять быть точкой в , тогда дуальное проективное пространство и - соответствующая гиперповерхность, двойственная точке .

Координаты Чоу

Выберите основу для запишем связанный как линейная комбинация этой основы, определяемая с точностью до общего множителя. Коэффициенты этого базиса называются коэффициентами Координаты Чоу из .

Определение разновидностей чау

Чтобы определить координаты Чоу, возьмите пересечение алгебраического многообразия Zвнутри проективного пространства степени d и размер м линейными подпространствами U из коразмерность м. Когда U в общая позиция, пересечение будет конечным множеством d отдельные точки.

Тогда координаты d точки пересечения являются алгебраическими функциями Координаты Плюккера от U, и, взяв симметричную функцию от алгебраических функций, однородный многочлен, известный как Форма чау (или же Форма Кэли) точки Z получается.

Координаты Чоу тогда являются коэффициентами формы Чоу. Координаты Чоу могут порождать наименьшее поле определения делителя. Координаты Чоу определяют точку в проективном пространстве, соответствующую всем формам.

Замыкание возможных координат Чоу называется разновидностью Чоу.

Примеры разновидностей чау

Связь со схемой Гильберта

В Схема гильберта это вариант разновидностей чау. Всегда есть карта (называемая карта цикла )

от Схема гильберта к разновидности Чау.

Коэффициент Чоу

А Коэффициент Чоу параметризует закрытие общие орбиты. Оно построено как замкнутое подмногообразие в многообразии Чоу.

Теорема Капранова гласит, что пространство модулей из стабильный кривые нулевого рода с п отмеченные точки - это фактор Чоу грассманиана стандартным максимальным тором.

Смотрите также

Рекомендации

  • Чоу, W.-L.; ван дер Варден, Б. Л. (1937), "Zur algebraische Geometrie IX.", Mathematische Annalen, 113: 692–704, Дои:10.1007 / BF01571660
  • Ходж, В. В. Д.; Педое, Даниэль (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46900-5. МИСТЕР  0028055.
  • Ходж, В. В. Д.; Педое, Даниэль (1994) [1952]. Методы алгебраической геометрии: Том 2 Книга III: Общая теория алгебраических многообразий в проективном пространстве. Книга IV: Квадрики и многообразия Грассмана. Кембриджская математическая библиотека. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-46901-2. МИСТЕР  0048065.
  • Михаил Капранов, Коэффициенты Чжоу грассманиана, Сборник семинаров И.М. Гельфанда, 29–110, Adv. Советская математика, 16, ч. 2, амер. Математика. Soc., Providence, RI, 1993.
  • Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag
  • Коллар, Янош, "Глава 1", Книга по модулям поверхностей
  • Куликов, В.С. (2001) [1994], «Сорт чау», Энциклопедия математики, EMS Press
  • Мамфорд, Дэвид; Фогарти, Джон; Кирван, Фрэнсис (1994). Геометрическая теория инвариантов. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (2) [Результаты по математике и смежным областям (2)]. 34 (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-56963-3. МИСТЕР  1304906.