Диаграмма Цихона - Википедия - Cichońs diagram

В теории множеств Диаграмма Цихона или же Диаграмма Цишона это таблица из 10 бесконечных Количественные числительные связанный с теория множеств действительных чисел отображение доказуемой связи между этими кардинальные характеристики континуума. Все эти кардиналы больше или равны , наименьший несчетный кардинал, и они ограничены сверху величиной , то мощность континуума. Четыре кардинала описывают свойства идеальный наборов измерять ноль; еще четыре описывают соответствующие свойства идеала скудные наборы (наборы первой категории).

Определения

Позволять я быть идеальный фиксированного бесконечного множества Икс, содержащую все конечные подмножества Икс. Мы определяем следующее "кардинальные коэффициенты " из я:

«Аддитивность» я наименьшее количество наборов из я чей союз не в я больше. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ; если я является σ-идеалом, то добавьте (я) ≥ .
«Покровное число» я наименьшее количество наборов из я чей союз состоит из Икс. В качестве Икс сам не в я, мы должны добавить (я) ≤ cov (я).
«Число однородности» я (иногда также пишется ) - размер наименьшего множества, не входящего в я. По нашему предположению о я, Добавить(я) ≤ non (я).
«Конечность» я это конфинальность из частичный заказ (я, ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь не (я) ≤ cof (я) и cov (я) ≤ cof (я).

Кроме того, "ограничивающее число "или" число неограниченности " и "доминирующее число " определяются следующим образом:

куда ""означает:" существует бесконечно много натуральных чисел п такое, что ... ", и""означает" для всех, кроме конечного числа натуральных чисел п у нас есть...".

Диаграмма

Позволять - σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые скудный (или «первой категории») в евклидова топология, и разреши - σ-идеал тех подмножеств вещественной прямой, которые имеют Мера Лебега нуль. Тогда имеют место следующие неравенства (где стрелка из а к б следует читать как означающее, что аб):

Кроме того, выполняются следующие соотношения:

и [1]

Оказывается, что неравенства, описанные диаграммой, вместе с упомянутыми выше отношениями - это все отношения между этими кардиналами, которые доказываются в ZFC в следующем ограниченном смысле. Позволять А быть любым назначением кардиналов и к 10 кардиналам на диаграмме Цихона. Тогда, если А согласуется с диаграммой в том, что нет стрелки от к , и если А также удовлетворяет двум дополнительным соотношениям, то А может быть реализована в какой-либо модели ZFC.

Для больших размеров континуума ситуация менее ясна. Согласно ZFC, все кардиналы диаграммы Цихона одновременно различны, за исключением и (которые совпадают с другими записями),[2][3] но (по состоянию на 2019 год) остается открытым, все ли комбинации кардинальных порядков, согласующиеся с диаграммой, согласованы.

Некоторые неравенства на диаграмме (например, «add ≤ cov») сразу следуют из определений. Неравенства и являются классическими теоремами и вытекают из того факта, что вещественную прямую можно разбить на скудное множество и множество нулевой меры.

Замечания

Британский математик Дэвид Фремлин назвал диаграмму в честь польского математика из Вроцлав, Яцек Цихонь [pl ].[4]

В гипотеза континуума, из будучи равным , сделает все эти стрелки равенствами.

Аксиома мартина, ослабление CH, означает, что все кардиналы на диаграмме (кроме, возможно, ) равны .

Рекомендации

  1. ^ Бартошинский, Томек (2009), «Инварианты меры и категории», в Формане, Мэтью (ред.), Справочник по теории множеств, Springer-Verlag, стр. 491–555, arXiv:математика / 9910015, Дои:10.1007/978-1-4020-5764-9_8, ISBN  978-1-4020-4843-2
  2. ^ Мартин Голдстерн, Якоб Келлнер, Сахарон Шелах (2019), «Максимум Цихона», Анналы математики, 190 (1): 113–143, arXiv:1708.03691, Дои:10.4007 / летопись.2019.190.1.2CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
  3. ^ Мартин Голдстерн, Якоб Келлнер, Диего А. Мехиа, Сахарон Шелах (2019), Максимум Цихона без больших кардиналов, arXiv:1906.06608CS1 maint: использует параметр авторов (связь)
  4. ^ Фремлин, Дэвид Х. (1984), «Диаграмма Цишона», Семин. Инициация анальный. 23ème Année-1983/84, Publ. Математика. Университет Пьера и Марии Кюри, 66, Zbl  0559.03029, Exp. No5, 13 стр..