Теоремы Дебре - Википедия - Debreu theorems

В экономика, то Теоремы Дебре несколько утверждений о представлении предпочтительный заказ действительной функцией. Теоремы были доказаны Жерар Дебре в течение 1950-х гг.

Фон

Предположим, человеку задают вопросы вида «Вы предпочитаете А или Б?» (когда A и B могут быть вариантами, действиями, которые нужно предпринять, состояниями мира, пакетами потребления и т. д.). Все ответы записываются. Затем предпочтения этого человека представлены числовым вспомогательная функция, так что полезность варианта A больше, чем вариант B тогда и только тогда, когда агент предпочитает A вместо B.

Теоремы Дебре дают ответ на следующий основной вопрос: какие условия отношения предпочтения агента гарантируют, что такая репрезентативная функция полезности может быть найдена?

Существование порядковой функции полезности

Теоремы 1954 года[1] скажем, грубо говоря, что каждое отношение предпочтения, которое является полным, транзитивным и непрерывным, может быть представлено непрерывная порядковая функция полезности.

Заявление

Эти теоремы обычно применяются к пространствам конечных товаров. Однако они применимы в гораздо более общих условиях. Это общие предположения:

  • X - это топологическое пространство.
  • есть отношение на X, которое общий (все предметы сопоставимы) и переходный.
  • является непрерывный. Это означает, что выполняются следующие эквивалентные условия:
    1. Для каждого , наборы и находятся топологически замкнутый в .
    2. Для каждой последовательности такой, что , если для всех я тогда , а если для всех я тогда

Каждое из следующих условий гарантирует существование действительной непрерывной функции, которая представляет отношение предпочтения :

1. Набор классы эквивалентности отношения (определяется: если только и ) площадь счетный набор.

2. Существует счетное подмножество X, , такое, что для каждой пары неэквивалентных элементов , есть элемент что их разделяет ().

3. X есть отделяемый и связаны.

4. X есть второй счетный. Это означает, что есть счетный набор S открытых множеств, такое что каждое открытое множество в X является объединением множеств класса S.

В доказательстве четвертого результата был пробел, который позже Дебре исправил.[2]

Примеры

А. Пусть с стандартная топология (евклидова топология). Определите следующее отношение предпочтения: если только . Это непрерывно, потому что для каждого , наборы и закрытые полуплоскости. Условие 1 нарушается, так как множество классов эквивалентности несчетно. Однако условию 2 удовлетворяет Z как множество пар с рациональными координатами. Условие 3 также выполняется, поскольку X отделимо и связно. Следовательно, существует непрерывная функция, представляющая . Пример такой функции: .

Б. Пусть со стандартной топологией, как указано выше. В лексикографические предпочтения отношение не является непрерывным в этой топологии. Например, , но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с и эти баллы уступают . В самом деле, это отношение не может быть представлено непрерывной действительной функцией.

Расширение

Алмаз[3] применил теорему Дебре к пространству , множество всех ограниченных вещественнозначных последовательностей с топологией, индуцированной метрикой супремума (см. L-бесконечность ). X представляет собой набор всех потоков коммунальных услуг с бесконечным горизонтом.

В дополнение к требованию, чтобы быть полным, переходным и непрерывным, Он добавил чувствительность требование:

  • Если поток меньше ручья в каждый период времени, то .
  • Если поток меньше или равно потоку в каждый период времени, то .

Согласно этим требованиям каждый поток эквивалентно потоку постоянной полезности, и каждые два потока постоянной полезности разделяются потоком постоянной полезности с рациональной полезностью, поэтому условие № 2 Дебре выполняется, и отношение предпочтений может быть представлено вещественным функция.

Результат существования действителен, даже если топология X изменяется на топологию, индуцированную дисконтированной метрикой:

Аддитивность порядковой функции полезности

Теорема 3 1960 г.[4] грубо говоря, если товарное пространство содержит 3 или более компонентов, и каждое подмножество компонентов предпочтительно не зависит от других компонентов, то отношение предпочтений может быть представлено как добавка функция значения.

Заявление

Это общие предположения:

  • X, пространство всех связок, является декартовым произведением п товарные площади: (т.е. пространство пучков - это набор п-наборы товаров).
  • есть отношение на X, которое общий (все предметы сопоставимы) и переходный.
  • непрерывно (см. выше).
  • Существует порядковая полезность функция , представляющий .

Функция называется добавка если это можно записать как сумму п порядковые функции полезности на п факторы:

где являются константами.

Учитывая набор индексов , набор товаров называется преимущественно независимый если отношение предпочтения наведен на при постоянных количествах других товаров , не зависит от этих постоянных величин.

Если аддитивно, то очевидно, что все подмножества товаров предпочтительно независимы.

Если все подмножества товаров являются преимущественно независимыми И по крайней мере три товара являются существенными (это означает, что их количества имеют влияние на отношение предпочтения ), тогда аддитивный.

Более того, в этом случае уникальна до возрастающей линейный трансформация.

Интуитивно понятное конструктивное доказательство см. Обычная полезность - Аддитивность с тремя или более товарами.

Теоремы о кардинальной полезности

Теорема 1 1960 г.[4] занимается преференциями по лотереям. Это можно рассматривать как улучшение Теорема фон Неймана – Моргенштерна о полезности 1947 года. В более ранней теореме предполагается, что агенты имеют предпочтения в лотереях с произвольными вероятностями. Теорема Дебре ослабляет это предположение и предполагает только то, что агенты имеют предпочтения в отношении лотерей с равными шансами (т. Е. Они могут отвечать только на вопросы вида: «Вы предпочитаете A лотерее с равными шансами между B и C?»).

Формально есть набор верного выбора. Набор лотерей есть . Теорема Дебре утверждает, что если:

  1. Набор всех верных вариантов это связаны и отделяемое пространство;
  2. Отношение предпочтений на множестве лотерей непрерывно - множества и находятся топологически замкнутый для всех ;
  3. и подразумевает

Тогда существует кардинальная полезность функция ты который представляет отношение предпочтений в наборе лотерей, то есть:

Теорема 2 1960 г.[4] имеет дело с агентами, чьи предпочтения представлены частотой выбора. Когда они могут выбирать между А и B, они выбирают А с частотой и B с частотой . Значение можно интерпретировать как измерение сколько агент предпочитает А над B.

Теорема Дебре утверждает, что если функция агента п удовлетворяет следующим условиям:

  1. Полнота:
  2. Четверное состояние:
  3. Преемственность: если , то существует C такой, что: .

Тогда существует кардинальная функция полезности ты что представляет п, то есть:

.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Дебре, Жерар (1954). Представление порядка предпочтений числовой функцией (PDF).[постоянная мертвая ссылка ]
  2. ^ Дебре, Жерар (1964). «Свойства непрерывности паретианской полезности». Международное экономическое обозрение. 5 (3): 285–293. Дои:10.2307/2525513.
  3. ^ Даймонд, Питер А. (1965). «Оценка бесконечных потоков коммунальных услуг». Econometrica. 33: 170. Дои:10.2307/1911893. JSTOR  1911893.
  4. ^ а б c Дебре, Жерар. Топологические методы в теории кардинальной полезности (PDF).[постоянная мертвая ссылка ]