Дехорный заказ - Википедия - Dehornoy order

в математический зона теория кос, то Дехорный заказ левоинвариантный общий заказ на группа кос, найдено Патрик Дехорной.^[1]^[2] Первоначальное открытие Дехорного порядка на использованной группе кос огромные кардиналы, но сейчас есть еще несколько его элементарных конструкций.^[3]

Определение

Предположим, что ${ displaystyle sigma _ {1}, dots, sigma _ {n-1}}$ обычные образующие группы кос ${ displaystyle B_ {n}}$ на ${ displaystyle n}$ струны. Определить ${ displaystyle sigma _ {я}}$ -положительное слово быть косой, которая допускает хотя бы одно выражение в элементах ${ displaystyle sigma _ {1}, dots, sigma _ {n-1}}$ и их обратные, так что слово содержит ${ displaystyle sigma _ {я}}$ , но не содержит ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {- 1}}$ ни ${ displaystyle sigma _ {j} ^ { pm 1}}$ за ${ displaystyle j$ .

Набор ${ displaystyle P}$ положительных элементов в порядке Дехорного определяется как элементы, которые могут быть записаны как ${ displaystyle sigma _ {я}}$ -положительное слово для некоторых ${ displaystyle i}$ .

Набор ${ displaystyle P}$ удовлетворяет ${ Displaystyle PP substeq P}$ , наборы ${ displaystyle P}$ , ${ displaystyle {1 }}$ , и ${ displaystyle P ^ {- 1}}$ не пересекаются («свойство ацикличности»), а группа кос является объединением ${ displaystyle P}$ , ${ displaystyle {1 }}$ , и ${ displaystyle P ^ {- 1}}$ («свойство сравнения»). Эти свойства означают, что если мы определим " ${ displaystyle a$ " значить " ${ displaystyle a ^ {- 1} b in P}$ "тогда мы получим левоинвариантный полный порядок на группе кос. Например, ${ Displaystyle sigma _ {1} < sigma _ {2} sigma _ {1}}$ потому что коса слово ${ Displaystyle sigma _ {1} ^ {- 1} sigma _ {2} sigma _ {1}}$ не является ${ displaystyle sigma _ {1}}$ -положительный, но по связям кос он эквивалентен ${ displaystyle sigma _ {1}}$ -положительное слово ${ displaystyle sigma _ {2} sigma _ {1} sigma _ {2} ^ {- 1}}$ , который лежит в ${ displaystyle P}$ .

История

Теория множеств вводит гипотетическое существование различных понятий "гипер бесконечности", таких как большие кардиналы. В 1989 г. было доказано, что одно такое понятие, аксиома ${ displaystyle I_ {3}}$ , подразумевает существование алгебраической структуры, называемой ациклической полкой, которая, в свою очередь, подразумевает разрешимость из проблема со словом для левого закона самораспределения ${ Displaystyle LD: х (yz) = (ху) (xz)}$ , свойство, априори не связанное с большими кардиналами.^[4]^[5]

В 1992 году Дехорной создал пример ациклической полки, представив определенный группоид ${ Displaystyle { mathcal {G}} _ {LD}}$ который отражает геометрические аспекты ${ displaystyle LD}$ закон. В результате была построена ациклическая полка на группа кос ${ displaystyle B _ { infty}}$ , что является частным от ${ Displaystyle { mathcal {G}} _ {LD}}$ , а это непосредственно означает наличие порядка кос.^[2] Поскольку порядок плетения появляется именно тогда, когда исключено предположение о большом кардинале, связь между порядком плетения и ациклической полкой была очевидна только через исходную задачу из теории множеств.^[6]

Характеристики

Существование порядка показывает, что каждая группа кос ${ displaystyle B_ {n}}$ упорядочиваемая группа и, следовательно, алгебры ${ displaystyle mathbb {Z} B_ {n}}$ и ${ displaystyle mathbb {C} B_ {n}}$ не имеют делителя нуля.
За ${ displaystyle n geqslant 3}$ , порядок Дегорного не инвариантен справа: имеем ${ Displaystyle sigma _ {2} < sigma _ {1}}$ и ${ Displaystyle sigma _ {2} sigma _ {1}> sigma _ {1} ^ {2}}$ . Во всяком случае, нет порядка ${ displaystyle B_ {n}}$ с ${ displaystyle n geqslant 3}$ может быть инвариантным с обеих сторон.
За ${ displaystyle n geqslant 3}$ , орден Дехорного не является ни Архимедовым, ни Конрадиановым: существуют косы ${ displaystyle beta _ {1}, beta _ {2}}$ удовлетворение ${ displaystyle beta _ {1} ^ {p} < beta _ {2}}$ для каждого ${ displaystyle p}$ (например, ${ displaystyle beta _ {1} = sigma _ {2}}$ и ${ displaystyle beta _ {2} = sigma _ {1}}$ ) и косы ${ displaystyle beta _ {1}, beta _ {2}}$ лучше чем ${ displaystyle 1}$ удовлетворение ${ displaystyle beta _ {1}> beta _ {2} beta _ {1} ^ {p}}$ для каждого ${ displaystyle p}$ (например, ${ Displaystyle beta _ {1} = sigma _ {2} ^ {- 1} sigma _ {1}}$ и ${ displaystyle beta _ {2} = sigma _ {2} ^ {- 2} sigma _ {1}}$ ).
Порядок Дехорного является хорошим упорядочением, если ограничен моноидом положительной косы. ${ displaystyle B_ {n} ^ {+}}$ создано ${ displaystyle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1}}$ (Ричард Лейвер ^[7]). Тип приказа Дехорного ограничен ${ displaystyle B_ {n} ^ {+}}$ это порядковый номер ${ displaystyle omega ^ { omega ^ {n-2}}}$ (Серж Буркель ^[8]).
Порядок Дехорного также является хорошим упорядочением, когда он ограничен двойным положительным моноидом кос. ${ displaystyle B_ {n} ^ {* +}}$ порожденный элементами ${ displaystyle sigma _ {i} dots sigma _ {j-1} sigma _ {j} sigma _ {j-1} ^ {- 1} dots sigma _ {i} ^ {- 1 }}$ с ${ Displaystyle 1 leqslant я$ , а тип приказа Дехорного ограничен ${ displaystyle B_ {n} ^ {* +}}$ это также ${ displaystyle omega ^ { omega ^ {n-2}}}$ (Жан Фроментин ^[9]).
Как бинарное отношение, порядок Дехорного разрешим. Алгоритм наилучшего решения основан на тропических формулах Дынникова (Иван Дынников,^[10] см. главу XII ^[3]); полученный алгоритм допускает равномерную сложность ${ Displaystyle О ( ell ^ {2})}$ .

Связь с теорией узлов

Позволять ${ displaystyle Delta _ {n}}$ быть основной полуворотной косой Гарсайда. Каждая коса ${ displaystyle beta}$ лежит в уникальном интервале ${ displaystyle [ Delta _ {n} ^ {2m}, Delta _ {n} ^ {2m + 2})}$ ; назвать целое число ${ displaystyle m}$ в Дехорный этаж из ${ displaystyle beta}$ , обозначенный ${ Displaystyle lfloor beta rfloor}$ . Тогда замыкание звена кос с большим полом ведет себя красиво, а именно свойства ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ можно легко прочитать из ${ displaystyle beta}$ . Вот несколько примеров.
Если ${ displaystyle vert lfloor beta rfloor vert> 1}$ держит, то ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ простое, нерасщепляемое и нетривиальное (Андрей Малютин и Никита Нетстетаев ^[11]).
Если ${ displaystyle vert lfloor beta rfloor vert> 1}$ держит и ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ это узел, то ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ является торическим узлом тогда и только тогда, когда ${ displaystyle beta}$ периодический, ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ это спутниковый узел если и только если ${ displaystyle beta}$ приводимо, и ${ displaystyle { widehat { beta}}}$ гиперболичен тогда и только тогда, когда ${ displaystyle beta}$ псевдо-Аносов (Тэцуя Ито ^[12]).

дальнейшее чтение

Кассель, Кристиан (2002), "L'ordre de Dehornoy sur les tresses", Astérisque (276): 7–28, ISSN 0303-1179, МИСТЕР 1886754
Дехорной, Патрик (1997), «Быстрый метод сравнения косичек», Успехи в математике, 125 (2): 200–235, Дои:10.1006 / aima.1997.1605, МИСТЕР 1434111

[1] Дехорной, Патрик (1992), "Deux propriétés des groupes de tresses", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 315 (6): 633–638, ISSN 0764-4442, МИСТЕР 1183793

[Dehornoy94-2] а ^б Дехорной, Патрик (1994), "Группы кос и операции левого распределения", Труды Американского математического общества, 345 (1): 115–150, Дои:10.2307/2154598, JSTOR 2154598, МИСТЕР 1214782

[DDRW08-3] а ^б Дехорной, Патрик; Дынников, Иван; Рольфсен, Дейл; Уист, Берт (2008), Заказ косичек, Математические обзоры и монографии, 148, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4431-1, МИСТЕР 2463428

[4] Дехорной, Патрик (1989), "Sur la structure des gerbes libres", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 309 (3): 143–148, МИСТЕР 1005627

[5] Лейвер, Ричард (1992), "Левый дистрибутивный закон и свобода алгебры элементарных вложений", Успехи в математике, 91 (2): 209–231, Дои:10.1016 / 0001-8708 (92) 90016-E, HDL:10338.dmlcz / 127389, МИСТЕР 1149623

[6] Дехорной, Патрик (1996), "Другое применение теории множеств", Бюллетень символической логики, 2 (4): 379–391, Дои:10.2307/421170, JSTOR 421170, МИСТЕР 1321290

[7] Лейвер, Ричард (1996), "Действия группы кос на левых распределительных структурах и правильные порядки в группах кос", Журнал чистой и прикладной алгебры, 108: 81–98, Дои:10.1016/0022-4049(95)00147-6, МИСТЕР 1382244

[8] Буркель, Серж (1997), "Заказ положительных косичек", Журнал чистой и прикладной алгебры, 120 (1): 1–17, Дои:10.1016 / S0022-4049 (96) 00072-2, МИСТЕР 1466094

[9] Фроментин, Жан (2011), «Каждая коса допускает короткое сигма-определяемое выражение», Журнал Европейского математического общества, 13 (6): 1591–1631, Дои:10.4171 / JEMS / 289 | mr = 2835325

[10] Дынников, Иван (2002), "Об отображении Янга-Бакстера и упорядочении Дехорного", Российские математические обзоры, 57 (3): 151–152, Дои:10.1070 / RM2002v057n03ABEH000519, МИСТЕР 1918864

[11] Малютин, Андрей; Нецветаев Никита Ю. (2003), «Порядок Дехорного в группе кос и преобразования замкнутых кос», Российская Академия Наук. Алгебра и анализ, 15 (3): 170–187, Дои:10.1090 / S1061-0022-04-00816-7, МИСТЕР 2052167

[12] Ито, Тэцуя (2011), «Упорядочивание кос и род узлов», Журнал теории узлов и ее разветвлений, 20 (9): 1311–1323, arXiv:0805.2042, Дои:10.1142 / S0218216511009169, МИСТЕР 2844810

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]