Когомологии Делиня - Deligne cohomology

В математика, Когомологии Делиня это гиперкогомология из Комплекс Делинь из комплексное многообразие. Он был представлен Пьер Делинь в неопубликованной работе около 1972 г. как теория когомологий для алгебраические многообразия который включает как обычные когомологии, так и промежуточные якобианы.

Вводные сведения о когомологиях Делиня см. Брылинский (2008 г., раздел 1.5), Эсно и Фивег (1988), и Гоми (2009), раздел 2).

Определение

Аналитический комплекс Делиня Z(п)_{D, an} на комплексном аналитическом многообразии Икс является

${ displaystyle 0 rightarrow mathbf {Z} (p) rightarrow Omega _ {X} ^ {0} rightarrow Omega _ {X} ^ {1} rightarrow cdots rightarrow Omega _ {X} ^ {p-1} rightarrow 0 rightarrow dots}$

куда Z(п) = (2π я)^пZ. В зависимости от контекста ${ displaystyle Omega _ {X} ^ {*}}$ является либо комплексом гладких (т. е. C^∞) дифференциальные формы или голоморфных форм соответственно. когомологии Делиня ЧАС q
D, an (Икс,Z(п)) это q-я гиперкогомология комплекса Делиня. Альтернативное определение этого комплекса дается как предел гомотопии^[1] диаграммы

${ displaystyle { begin {matrix} && mathbb {Z} && downarrow Omega _ {X} ^ { geq 2p} & to & Omega _ {X} ^ { bullet} конец {матрица}}}$

Характеристики

Группы когомологий Делиня ЧАС q
D (Икс,Z(п)) можно описать геометрически, особенно в низких градусах. За п = 0, это согласуется с q-я особая группа когомологий (с Zкоэффициенты) по определению. За q = 2 и п = 1, он изоморфен группе классов изоморфизма гладких (или голоморфных, в зависимости от контекста) главный C^×-бандлы над Икс. За п = q = 2, это группа классов изоморфизма C^×-бандлы с связь. За q = 3 и п = 2 или 3, описания в терминах герберы доступны (Брылинский (2008) ). Это было обобщено до описания более высоких степеней в терминах повторения классификация пространств и соединения на них (Гаджер (1997) ).

Связь с классами Ходжа

Напомним, есть подгруппа ${ displaystyle { text {Hdg}} ^ {p} (X) subset H ^ {p, p} (X)}$ интегральных классов когомологий в ${ displaystyle H ^ {2p} (X)}$ называется группой классов Ходжа. Существует точная последовательность, связывающая когомологии Делиня, их промежуточные якобианы, а эта группа классов Ходжа как короткая точная последовательность

${ Displaystyle 0 к J ^ {2p-1} (X) к H _ { mathcal {D}} ^ {2p} (X, mathbb {Z} (p)) to { text {Hdg} } ^ {2p} (X) to 0}$

Приложения

Когомология Делиня используется для формулировки Гипотезы Бейлинсона на специальные значения L-функций.

Расширения

Существует расширение когомологий Делиня, определенное для любого симметричный спектр ${ displaystyle E}$^[1] куда ${ displaystyle pi _ {я} (E) otimes mathbb {C} = 0}$ за ${ displaystyle i}$ нечетные, которые можно сравнить с обычными когомологиями Делиня на комплексных аналитических многообразиях.

Смотрите также

• Связка гербе
• Мотивная когомология
• Структура Ходжа
• Промежуточный якобиан

Рекомендации

• Когомологии Делиня-Бейлинсона
• Геометрия когомологий Делиня
• Заметки о дифференциальных когомологиях и гербах
• Скрученные гладкие когомологии Делиня
• Брылински, Жан-Люк (2008) [1993], Пространства петель, характеристические классы и геометрическое квантование, Modern Birkhäuser Classics, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Дои:10.1007/978-0-8176-4731-5, ISBN  978-0-8176-4730-8, МИСТЕР  2362847
• Эсно, Элен; Viehweg, Eckart (1988), "Когомологии Делиня-Беллинсона" (PDF), Гипотезы Белинсона о специальных значениях L-функций, Перспектива. Математика, 4, Бостон, Массачусетс: Академическая пресса, стр. 43–91, ISBN  978-0-12-581120-0, МИСТЕР  0944991
• Гайер, Павел (1997), "Геометрия когомологий Делиня", Inventiones Mathematicae, 127 (1): 155–207, arXiv:alg-geom / 9601025, Bibcode:1996InMat.127..155G, Дои:10.1007 / s002220050118, ISSN  0020-9910
• Гоми, Киёнори (2009), "Проективные унитарные представления гладких групп когомологий Делиня", Журнал геометрии и физики, 59 (9): 1339–1356, arXiv:математика / 0510187, Bibcode:2009JGP .... 59.1339G, Дои:10.1016 / j.geomphys.2009.06.012, ISSN  0393-0440, МИСТЕР  2541824