Определитель Дьедонне - Википедия - Dieudonné determinant

В линейная алгебра, то Определитель Дьедонне является обобщением определитель матрицы к матрицам над делительные кольца и местные кольца. Он был представлен Дьедонне  (1943 ).

Если K является телом, то определитель Дьедонне гомоморфизм групп из группы GLп(K) обратимых п к п матрицы над K на абелианизация K×/[K×, K×] мультипликативной группы K× из K.

Например, определитель Дьедонне для матрицы 2 на 2 равен

Характеристики

Позволять р быть местным кольцом. Существует детерминантное отображение из кольца матриц GL (р) к абелианизированной единичной группе р×ab со следующими свойствами:[1]

  • Определитель инвариантен относительно элементарные операции со строками
  • Определитель тождества равен 1
  • Если в строке осталось умножить на а в р× то определитель умножается слева на а
  • Определитель мультипликативен: det (AB) = det (А) det (B)
  • Если две строки меняются местами, определитель умножается на -1.
  • Если R коммутативно, то определитель инвариантен относительно транспонирования

Проблема Таннаки – Артина

Предположить, что K конечна над своим центром F. В пониженная норма дает гомоморфизм Nп из GLп(K) к F×. У нас также есть гомоморфизм из GLп(K) к F× полученный составлением определителя Дьедонне из GLп(K) к K×/[K×, K×] с приведенной нормой N1 из GL1(K) = K× к F× через абелианизацию.

В Проблема Таннаки – Артина имеет ли эти две карты одно и то же ядро ​​SLп(K). Это правда, когда F локально компактна[2] но в целом ложь.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Розенберг (1994) с.64
  2. ^ Накаяма, Тадаси; Мацусима, Ёдзо (1943). "Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra". Proc. Imp. Акад. Токио (на немецком). 19: 622–628. Дои:10.3792 / pia / 1195573246. Zbl  0060.07901.
  3. ^ Платонов, В. (1976). «Проблема Таннака-Артина и приведенная K-теория». Изв. Акад. АН СССР, Сер. Мат. (на русском). 40: 227–261. Zbl  0338.16005.