Диссипативный оператор - Википедия - Dissipative operator

В математика, а диссипативный оператор это линейный оператор А определено на линейное подпространство D(А) из Банахово пространство Икс, принимая значения в Икс такой, что для всех λ > 0 и все ИксD(А)

Ниже дана пара эквивалентных определений. Диссипативный оператор называется максимально диссипативный если он диссипативный и для всех λ > 0 оператор λIА сюръективен, что означает, что диапазон, применяемый к домену D это все пространство Икс.

Оператор, который подчиняется аналогичному условию, но со знаком плюс вместо знака минус (то есть отрицание диссипативного оператора), называется оператором аккретивный оператор.[1]

Основное значение диссипативных операторов заключается в их появлении в Теорема Люмера – Филлипса который характеризует максимально диссипативные операторы как генераторы полугруппы сжатия.

Характеристики

Диссипативный оператор обладает следующими свойствами:[2]

  • Из приведенного выше неравенства мы видим, что для любого Икс в области А, если ‖Икс‖ ≠ 0 тогда Итак ядро из λIА это просто нулевой вектор и λIА следовательно является инъективный и имеет обратное для всех λ > 0. (Если у нас есть строгое неравенство для всех ненулевых Икс в домене, то неравенство треугольника, откуда следует, что само A имеет обратное) .Тогда мы можем утверждать, что
для всех z в диапазоне λIА. Это то же неравенство, что и в начале статьи, с (Мы могли бы также записать их как которое должно выполняться для любого положительного κ.)
  • λIА является сюръективный для некоторых λ > 0 тогда и только тогда, когда он сюръективен для всех λ > 0. (Это уже упоминавшийся выше максимально диссипативный случай.) В этом случае (0, ∞) ⊂ ρ(А) ( набор резольвент из А).
  • А это закрытый оператор тогда и только тогда, когда диапазон λI - А закрыто для некоторых (эквивалентно: для всех) λ > 0.

Эквивалентные характеристики

Определите набор двойственности ИксИкс, подмножество двойное пространство ИКС' из Икс, к

Посредством Теорема Хана – Банаха этот набор непустой.[3] в Гильбертово пространство случае (используя каноническую двойственность между гильбертовым пространством и двойственным ему) он состоит из единственного элемента Икс.[4] В более общем смысле, если Икс является банаховым пространством со строго выпуклым двойственным, то J(Икс) состоит из одного элемента.[5]Используя это обозначение, А диссипативен тогда и только тогда, когда[6] для всех ИксD(А) существует Икс' ∈ J(Икс) такие, что

В случае гильбертовых пространств это становится для всех Икс в D(А). Поскольку это неположительно, мы имеем

С I − A имеет обратное, это означает, что это сокращение, и в более общем плане является сжатием для любого положительного λ. Полезность этой формулировки заключается в том, что если этот оператор является сжатием для немного положительное λ, тогда А диссипативен. Нет необходимости доказывать, что это сжатие для всех положительных λ (хотя это так), в отличие от (λI − A)−1 которое должно быть доказано как сокращение для все положительные значения λ.

Примеры

так А - диссипативный оператор.
  • Пока домен оператора А (матрица) - это все евклидово пространство, то оно диссипативно тогда и только тогда, когда А+А* (сумма A и его прилегающий ) не имеет положительного собственного значения, и (следовательно) все такие операторы максимально диссипативны. Этот критерий следует из того, что действительная часть который должен быть неположительным для любого Икс, является Собственные значения этого квадратичная форма поэтому должен быть неположительным. (Дело в том, что реальная часть должно быть неположительным, означает, что действительные части собственных значений А должен быть неположительным, но этого недостаточно. Например, если то его собственные значения отрицательны, но собственные значения А+А* равны −5 и 1, поэтому А не диссипативен.) Эквивалентным условием является то, что для некоторого (а значит, любого) положительного имеет обратный и оператор является сжатием (то есть, оно либо уменьшает, либо оставляет неизменной норму своего операнда). Если производная точки по времени Икс в пространстве задается Топор, то эволюция во времени определяется полугруппа сжатия что постоянно снижает норму (или, по крайней мере, не дает ей повышаться). (Обратите внимание, однако, что если домен А - собственное подпространство, то А не может быть максимально диссипативным, потому что диапазон не будет иметь достаточно высокой размерности.)
  • Учитывать ЧАС = L2 ([0, 1]; р) с обычным внутренним произведением, и пусть Au = ты′ (В данном случае слабая производная ) с доменом D(А) равные этим функциям ты в Соболевское пространство с ты(1) = 0. D(А) плотно в L2([0, 1]; р). Причем для каждого ты в D(А), с помощью интеграция по частям,
Следовательно, А - диссипативный оператор. Кроме того, поскольку существует решение (почти всюду ) в D к для любого ж в ЧАС, Оператор А максимально диссипативен. Обратите внимание, что в случае бесконечной размерности, подобной этому, диапазон может быть всем банаховым пространством, даже если область является только его собственным подпространством.
так что лапласиан - диссипативный оператор.

Примечания

  1. ^ «Диссипативный оператор». Энциклопедия математики.
  2. ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.14.
  3. ^ Из теоремы следует, что для данного Икс существует непрерывный линейный функционал φ со свойством φ (Икс)=‖Икс‖, С нормой φ, равной 1. ОтождествляемИкс‖Φ с Икс'.
  4. ^ Упражнение Энгеля и Нагеля II.3.25i
  5. ^ Энгель и Нагель, пример II.3.26.
  6. ^ Предложение Энгеля и Нагеля II.3.23.

Рекомендации

  • Энгель, Клаус-Йохен; Нагель, Райнер (2000). Однопараметрические полугруппы для линейных эволюционных уравнений. Springer.
  • Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Определение 12.25)