Уравнения поля Эйнштейна - Википедия - Einstein field equations

в общая теория относительности то Уравнения поля Эйнштейна (EFE; также известен как Уравнения Эйнштейна) связывают геометрию пространство-время к распределению иметь значение внутри.[1]

Уравнения были впервые опубликованы Эйнштейном в 1915 году в виде тензорное уравнение[2] которые касались местных пространство-время кривизна (выраженный Тензор Эйнштейна ) с местной энергией, импульс и напряжение в этом пространстве-времени (выраженное тензор энергии-импульса ).[3]

Аналогично тому, как электромагнитные поля связаны с распределением обвинения и токи через Уравнения Максвелла, EFE связывают геометрия пространства-времени распределению массы – энергии, импульса и напряжения, то есть они определяют метрический тензор пространства-времени для данного расположения напряжения-энергии-импульса в пространстве-времени. Связь между метрическим тензором и тензором Эйнштейна позволяет записать EFE в виде набора нелинейных уравнения в частных производных при использовании таким образом. Решения УЭФ являются компонентами метрического тензора. В инерционный траектории частиц и излучения (геодезические ) в результирующей геометрии затем вычисляются с использованием геодезическое уравнение.

Помимо локального сохранения энергии-импульса, EFE сводятся к Закон всемирного тяготения Ньютона в пределе слабого гравитационного поля и скоростей, много меньших, чем скорость света.[4]

Точные решения для EFE можно найти только при упрощающих предположениях, таких как симметрия. Специальные классы точные решения наиболее часто изучаются, поскольку они моделируют многие гравитационные явления, такие как вращающиеся черные дыры и расширяющаяся вселенная. Дальнейшее упрощение достигается при аппроксимации пространства-времени как имеющего лишь небольшие отклонения от плоское пространство-время, ведущий к линеаризованный EFE. Эти уравнения используются для изучения таких явлений, как гравитационные волны.

Математическая форма

Уравнения поля Эйнштейна (EFE) можно записать в виде:[5][1]

EFE на стене в Лейден

куда граммμν это Тензор Эйнштейна, граммμν это метрический тензор, Тμν это тензор энергии-импульса, Λ это космологическая постоянная и κ - гравитационная постоянная Эйнштейна.

В Тензор Эйнштейна определяется как

куда рμν это Тензор кривизны Риччи, и р это скалярная кривизна. Это симметричный тензор второй степени, который зависит только от метрического тензора и его первой и второй производных.

В Гравитационная постоянная Эйнштейна определяется как[6][7]

куда грамм это Ньютоновская постоянная гравитации и c это скорость света в вакууме.

Таким образом, EFE также можно записать как

В стандартных единицах каждый член слева имеет единицы 1 / длина.2.

Выражение слева представляет кривизну пространства-времени, определяемую метрикой; выражение справа представляет собой материально-энергетическое содержание пространства-времени. EFE можно интерпретировать как набор уравнений, определяющих, как материя-энергия определяет кривизну пространства-времени.

Эти уравнения вместе с геодезическое уравнение,[8] который определяет, насколько свободно падающая материя движется в пространстве-времени, формируя ядро математическая формулировка из общая теория относительности.

EFE - это тензорное уравнение, связывающее набор симметричные тензоры 4 × 4. Каждый тензор имеет 10 независимых компонент. Четверка Бьянки идентичности уменьшить количество независимых уравнений с 10 до 6, оставив метрику с четырьмя калибровка степени свободы, которые соответствуют свободе выбора системы координат.

Хотя уравнения поля Эйнштейна изначально были сформулированы в контексте четырехмерной теории, некоторые теоретики исследовали их последствия в п размеры.[9] Уравнения в контексте вне общей теории относительности по-прежнему называются уравнениями поля Эйнштейна. Уравнения вакуумного поля (полученные при Тμν везде ноль) определим Многообразия Эйнштейна.

Уравнения сложнее, чем кажется. Учитывая заданное распределение вещества и энергии в форме тензора энергии-импульса, EFE понимаются как уравнения для метрического тензора граммμν, поскольку и тензор Риччи, и скалярная кривизна зависят от метрики сложным нелинейным образом. Полностью записанные EFE представляют собой систему из десяти связанных, нелинейных, гиперболо-эллиптических уравнения в частных производных.[10]

Подписать соглашение

Приведенная выше форма EFE является стандартом, установленным Миснер, Торн и Уиллер.[11] Авторы проанализировали существующие условности и классифицировали их по трем признакам (S1, S2, S3):

Третий знак выше связан с выбором соглашения для тензора Риччи:

С этими определениями Миснер, Торн и Уиллер классифицируют себя как (+ + +), тогда как Вайнберг (1972)[12] является (+ − −), Пиблз (1980)[13] и Efstathiou et al. (1990)[14] находятся (− + +), Риндлер (1977)[нужна цитата ], Этуотер (1974)[нужна цитата ], Коллинз Мартин и Сквайрс (1989)[15] и павлин (1999)[16] находятся (− + −).

Авторы, включая Эйнштейна, использовали другой знак в своем определении тензора Риччи, в результате чего знак константы в правой части стал отрицательным:

Знак космологического члена изменился бы в обеих этих версиях, если бы (+ − − −) метрика подписать соглашение используется, а не MTW (− + + +) здесь принята метрическая система знаков.

Эквивалентные составы

Принимая след по метрике обеих сторон EFE получается

куда D - измерение пространства-времени. Решение для р и подставив это в исходный EFE, мы получим следующую эквивалентную "обратную трассировку" форму:

В D = 4 размеры это уменьшает до

Повторное обращение трассировки восстановит исходный EFE. Форма с обращением следа может быть более удобной в некоторых случаях (например, когда кто-то интересуется пределом слабого поля и может заменить граммμν в выражении справа с Метрика Минковского без существенной потери точности).

Космологическая постоянная

В уравнениях поля Эйнштейна

термин, содержащий космологическая постоянная Λ отсутствовала в версии, в которой он их изначально опубликовал. Затем Эйнштейн включил член с космологической постоянной, чтобы учесть Вселенная, которая не расширяется и не сжимается. Эта попытка не увенчалась успехом, потому что:

  • любое желаемое стационарное решение, описываемое этим уравнением, неустойчиво, и
  • наблюдения Эдвин Хаббл показал, что наша Вселенная расширение.

Эйнштейн тогда отказался Λ, обращаясь к Георгий Гамов «что введение космологического термина было самой большой ошибкой в ​​его жизни».[17]

Включение этого термина не создает противоречий. В течение многих лет космологическая постоянная почти повсеместно полагалась равной нулю. Более свежий астрономический наблюдения показали ускоряющееся расширение Вселенной, и чтобы объяснить это положительным значением Λ необходим.[18][19] Космологическая постоянная пренебрежимо мала в масштабе галактики или меньше.

Эйнштейн считал космологическую постоянную независимым параметром, но его член в уравнении поля можно также алгебраически переместить в другую сторону и включить как часть тензора энергии-импульса:

Этот тензор описывает состояние вакуума с плотность энергии ρпылесос и изотропное давление ппылесос которые являются фиксированными константами и задаются

где предполагается, что Λ имеет единицу СИ м−2 и κ определяется, как указано выше.

Таким образом, существование космологической постоянной эквивалентно существованию энергии вакуума и давления противоположного знака. Это привело к тому, что термины «космологическая постоянная» и «энергия вакуума» стали взаимозаменяемыми в общей теории относительности.

Функции

Сохранение энергии и импульса

Общая теория относительности согласуется с локальным законом сохранения энергии и импульса, выраженным как

.

что выражает локальное сохранение напряжения-энергии. Этот закон сохранения является физическим требованием. Своими уравнениями поля Эйнштейн убедился, что общая теория относительности согласуется с этим условием сохранения.

Нелинейность

Нелинейность EFE отличает общую теорию относительности от многих других фундаментальных физических теорий. Например, Уравнения Максвелла из электромагнетизм линейны по электрический и магнитные поля, а также распределения заряда и тока (т.е. сумма двух решений также является решением); другой пример Уравнение Шредингера из квантовая механика, линейная по волновая функция.

Принцип соответствия

EFE сводится к Закон всемирного тяготения Ньютона используя как приближение слабого поля и приближение замедленного движения. Фактически постоянная грамм появление в EFE определяется этими двумя приближениями.

Уравнения вакуумного поля

Швейцарская памятная монета 1979 года, на которой изображены уравнения вакуумного поля с нулевой космологической постоянной (вверху).

Если тензор энергии-импульса Тμν равна нулю в рассматриваемой области, то уравнения поля также называют уравнения вакуумного поля. Установив Тμν = 0 в уравнения поля с обращенными следами, уравнения вакуума можно записать в виде

В случае ненулевой космологической постоянной уравнения имеют вид

Решения уравнений вакуумного поля называются вакуумные решения. Плоский Пространство Минковского является простейшим примером вакуумного решения. Нетривиальные примеры включают Решение Шварцшильда и Решение Керра.

Коллекторы с исчезающим Тензор Риччи, рμν = 0, называются Риччи-плоские многообразия и многообразия с тензором Риччи, пропорциональным метрике, как Многообразия Эйнштейна.

Уравнения Эйнштейна – Максвелла

Если тензор энергии-импульса Тμν это что из электромагнитное поле в свободное место, т.е. если электромагнитный тензор энергии-напряжения

используется, то уравнения поля Эйнштейна называются Уравнения Эйнштейна – Максвеллакосмологическая постоянная Λ, принимаемое равным нулю в традиционной теории относительности):

Кроме того, ковариантные уравнения Максвелла также применимы в свободном пространстве:

где точка с запятой представляет собой ковариантная производная, а скобки обозначают антисимметризация. Первое уравнение утверждает, что 4-расхождение из 2-форма F равно нулю, а второе, что его внешняя производная равно нулю. Из последнего следует Лемма Пуанкаре что в координатной карте можно ввести потенциал электромагнитного поля Аα такой, что

в котором запятая обозначает частную производную. Это часто рассматривается как эквивалент ковариантного уравнения Максвелла, из которого оно получено.[20] Однако есть глобальные решения уравнения, которые могут не обладать глобально определенным потенциалом.[21]

Решения

Решения уравнений поля Эйнштейна следующие: метрики из пространство-время. Эти метрики описывают структуру пространства-времени, включая инерционное движение объектов в пространстве-времени. Поскольку уравнения поля нелинейны, они не всегда могут быть решены полностью (т. Е. Без приближения). Например, нет известного полного решения для пространства-времени с двумя массивными телами в нем (которое, например, является теоретической моделью двойной звездной системы). Однако в этих случаях обычно делаются приближения. Их обычно называют постньютоновские приближения. Тем не менее, есть несколько случаев, когда уравнения поля были решены полностью, и они называются точные решения.[9]

Изучение точных решений уравнений поля Эйнштейна - одно из направлений деятельности космология. Это приводит к предсказанию черные дыры и к разным моделям эволюции вселенная.

Можно также найти новые решения уравнений поля Эйнштейна с помощью метода ортонормированных систем отсчета, впервые предложенного Эллисом и МакКаллумом.[22] При таком подходе уравнения поля Эйнштейна сводятся к системе связанных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как обсуждали Хсу и Уэйнрайт,[23] автомодельные решения уравнений поля Эйнштейна являются неподвижными точками полученного динамическая система. LeBlanc обнаружил новые решения с использованием этих методов.[24] и Коли и Хаслам.[25]

Линеаризованный EFE

Нелинейность EFE затрудняет поиск точных решений. Один из способов решения уравнений поля состоит в приближении, а именно, что вдали от источника (источников) гравитирующего вещества гравитационное поле очень слабый и пространство-время приближается к Пространство Минковского. Затем метрика записывается как сумма метрики Минковского и члена, представляющего отклонение истинной метрики от Метрика Минковского, игнорируя высшие степени. Эта процедура линеаризации может использоваться для исследования явлений гравитационное излучение.

Полиномиальная форма

Несмотря на то, что EFE, как написано, содержит инверсию метрического тензора, они могут быть организованы в форме, которая содержит метрический тензор в полиномиальной форме и без его инверсии. Во-первых, определитель метрики в 4-х измерениях можно записать

с использованием Символ Леви-Чивита; а значение, обратное метрике в четырех измерениях, можно записать как:

Подставляя это определение обратной метрики в уравнения, затем умножая обе части на подходящую степень det (грамм) чтобы исключить его из знаменателя, получим полиномиальные уравнения для метрического тензора и его первой и второй производных. Действие, из которого выводятся уравнения, также может быть записано в полиномиальной форме путем подходящего переопределения полей.[26]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Эйнштейн, Альберт (1916). «Основы общей теории относительности». Annalen der Physik. 354 (7): 769. Bibcode:1916AnP ... 354..769E. Дои:10.1002 / andp.19163540702. Архивировано из оригинал (PDF ) на 2012-02-06.
  2. ^ Эйнштейн, Альберт (25 ноября 1915 г.). "Die Feldgleichungen der Gravitation". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin: 844–847. Получено 2017-08-21.
  3. ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973), п. 916 [гл. 34].
  4. ^ Кэрролл, Шон (2004). Пространство-время и геометрия - Введение в общую теорию относительности. С. 151–159. ISBN  0-8053-8732-3.
  5. ^ Грён, Эйвинд; Хервик, Зигбьорн (2007). Общая теория относительности Эйнштейна: с современными приложениями в космологии (иллюстрированный ред.). Springer Science & Business Media. п. 180. ISBN  978-0-387-69200-5.
  6. ^ При таком выборе гравитационной постоянной Эйнштейна, как здесь, κ = 8πG/c4, тензор энергии-импульса в правой части уравнения должен быть записан с каждым компонентом в единицах плотности энергии (т. е. энергии на объем, эквивалентно давлению). В оригинальной публикации Эйнштейна выбор таков: κ = 8πG/c2, и в этом случае компоненты тензора энергии-импульса имеют единицы массовой плотности.
  7. ^ Адлер, Рональд; Базен, Морис; Шиффер, Менахем (1975). Введение в общую теорию относительности (2-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  0-07-000423-4. OCLC  1046135.
  8. ^ Вайнберг, Стивен (1993). Мечты об окончательной теории: поиск фундаментальных законов природы. Винтажная пресса. С. 107, 233. ISBN  0-09-922391-0.
  9. ^ а б Стефани, Ганс; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C .; Херлт, Э. (2003). Точные решения уравнений поля Эйнштейна.. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-46136-7.
  10. ^ Рендалл, Алан Д. (2005). "Теоремы существования и глобальной динамики для уравнений Эйнштейна". Живая Преподобная Относительность. 8. Номер статьи: 6. Дои:10.12942 / lrr-2005-6. PMID  28179868.
  11. ^ Миснер, Торн и Уиллер (1973), п. 501ff.
  12. ^ Вайнберг (1972).
  13. ^ Пиблз, Филип Джеймс Эдвин (1980). Крупномасштабная структура Вселенной. Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-08239-1.
  14. ^ Efstathiou, G .; Sutherland, W. J .; Мэддокс, С. Дж. (1990). «Космологическая постоянная и холодная темная материя». Природа. 348 (6303): 705. Bibcode:1990Натура.348..705E. Дои:10.1038 / 348705a0. S2CID  12988317.
  15. ^ Коллинз, П. Д. Б .; Martin, A.D .; Сквайрс, Э. Дж. (1989). Физика элементарных частиц и космология. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-60088-1.
  16. ^ Павлин (1999).
  17. ^ Гамов, Георгий (28 апреля 1970 г.). Моя мировая линия: неформальная автобиография. Викинг Взрослый. ISBN  0-670-50376-2. Получено 2007-03-14.
  18. ^ Валь, Николь (22 ноября 2005 г.). «Была ли« самая большая ошибка »Эйнштейна звездным успехом?». Новости @ UofT. Университет Торонто. Архивировано из оригинал на 2007-03-07.
  19. ^ Тернер, Майкл С. (май 2001 г.). «Осмысление новой космологии». Int. J. Mod. Phys. А. 17 (S1): 180–196. arXiv:Astro-ph / 0202008. Bibcode:2002IJMPA..17S.180T. Дои:10.1142 / S0217751X02013113. S2CID  16669258.
  20. ^ Браун, Харви (2005). Физическая относительность. Издательство Оксфордского университета. п. 164. ISBN  978-0-19-927583-0.
  21. ^ Траутман Анджей (1977). «Решения уравнений Максвелла и Янга – Миллса, связанные с расслоениями Хопфа». Международный журнал теоретической физики. 16 (9): 561–565. Bibcode:1977IJTP ... 16..561T. Дои:10.1007 / BF01811088. S2CID  123364248..
  22. ^ Ellis, G. F. R .; МакКаллум, М. (1969). «Класс однородных космологических моделей». Comm. Математика. Phys. 12 (2): 108–141. Bibcode:1969CMaPh..12..108E. Дои:10.1007 / BF01645908. S2CID  122577276.
  23. ^ Hsu, L .; Уэйнрайт, Дж (1986). «Самоподобные пространственно-однородные космологии: ортогональная идеальная жидкость и вакуумные решения». Учебный класс. Квантовая гравитация. 3 (6): 1105–1124. Bibcode:1986CQGra ... 3.1105H. Дои:10.1088/0264-9381/3/6/011.
  24. ^ ЛеБлан, В. Г. (1997). «Асимптотические состояния магнитных космологий Бианки I. Учебный класс. Квантовая гравитация. 14 (8): 2281. Bibcode:1997CQGra..14.2281L. Дои:10.1088/0264-9381/14/8/025.
  25. ^ Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2013). "Динамический системный подход к вязкой магнитогидродинамической модели типа Бьянки I.". Phys. Ред. D. 88 (6): 063518. arXiv:1304.8042. Bibcode:2013ПхРвД..88ф3518К. Дои:10.1103 / Physrevd.88.063518. S2CID  119178273.
  26. ^ Катанаев, М. О. (2006). «Полиномиальная форма действия Гильберта – Эйнштейна». Gen. Rel. Грав. 38 (8): 1233–1240. arXiv:gr-qc / 0507026. Bibcode:2006GReGr..38.1233K. Дои:10.1007 / s10714-006-0310-5. S2CID  6263993.

Рекомендации

Видеть Ресурсы по общей теории относительности.

внешняя ссылка