Конец (теория категорий) - Википедия - End (category theory)

В теория категорий, конец функтора универсальный сверхъестественное преобразование от объекта е из Икс к S.[1]

Более точно, это пара , куда е является объектом Икс и это сверхъестественное преобразование, такое что для каждого сверхъестественного преобразования существует уникальный морфизм из Икс с для каждого объекта а из C.

Из-за злоупотребления языком объект е часто называют конец функтора S (забывая ) и написано

Характеристика как предел: Если Икс является полный и C маленький, конец можно описать как эквалайзер на диаграмме

где первый выравниваемый морфизм индуцирован а второй индуцирован .

Coend

Определение коенд функтора является двойственным определению конца.

Таким образом, коэффициент S состоит из пары , куда d является объектом Икс и это сверхъестественное преобразование, такое, что для каждого сверхъестественного преобразования существует уникальный морфизм из Икс с для каждого объекта а из C.

В коенд d функтора S написано

Характеристика как копредел: Двойно, если Икс является завершенным и C мала, то коэффициент можно описать как коэквалайзер на диаграмме

Примеры

  • Природные преобразования:

Предположим, у нас есть функторы тогда

.

В этом случае категория множеств полная, поэтому нам нужно только сформировать эквалайзер и в этом случае

естественные преобразования из к . Интуитивно естественное преобразование из к это морфизм из к для каждого в категории с условиями совместимости. Глядя на диаграмму эквалайзера, определяющую конец, становится очевидным эквивалентность.

Позволять быть симплициальный набор. То есть, является функтором . В дискретная топология дает функтор , куда категория топологических пространств. Кроме того, есть карта отправка объекта из к стандарту -симплекс внутри . Наконец, есть функтор который берет произведение двух топологических пространств.

Определять быть композицией этого функтора продукта с . В коенд из является геометрической реализацией .

Рекомендации

  1. ^ Мак-Лейн, Сондерс (2013). Категории для работающего математика. Springer Science & Business Media. С. 222–226.