Формула непрерывной дроби Эйлера - Википедия - Eulers continued fraction formula

в аналитическая теория из непрерывные дроби, Формула непрерывной дроби Эйлера это тождество, соединяющее некоторые очень общие бесконечная серия с бесконечным непрерывная дробь. Впервые опубликованное в 1748 году, оно сначала рассматривалось как простое тождество, соединяющее конечную сумму с конечной цепной дробью таким образом, что распространение на бесконечный случай было очевидным.[1] Сегодня это более полно ценится как полезный инструмент в аналитических атаках на общие проблема сходимости для бесконечных цепных дробей с комплексными элементами.

Исходная формула

Эйлер вывел формулу как соединение конечной суммы продуктов с конечным непрерывная дробь.

Личность легко устанавливается индукция на п, и поэтому применимо в пределе: если выражение слева расширено, чтобы представить сходящийся бесконечный ряд, выражение справа также может быть расширено для представления сходящейся бесконечной непрерывная дробь.

Это записано более компактно, используя обобщенная цепная дробь обозначение:

Формула Эйлера

Если ря комплексные числа и Икс определяется

то это равенство можно доказать по индукции

.

Здесь равенство следует понимать как эквивалентность в том смысле, что n-й сходящийся каждой непрерывной дроби равна n-й частичной сумме ряда, показанного выше. Итак, если показанный ряд сходится - или равномерно сходится, когда ряявляются функциями некоторой сложной переменной z - тогда и цепные дроби сходятся, или сходятся равномерно.[2]

Доказательство по индукции

Теорема. Пусть быть натуральным числом. За комплексные значения ,

и для комплексные значения ,

Доказательство. Проведем двойную индукцию. За , у нас есть

и

Теперь предположим, что оба утверждения верны для некоторых .

У нас есть куда

применяя предположение индукции к .

Но подразумевает подразумевает , противоречие. Следовательно

завершая эту индукцию.

Обратите внимание, что для ,

если , то обе стороны равны нулю.

С помощью и , и применяя предположение индукции к значениям ,

завершая другую индукцию.

Например, выражение можно преобразовать в непрерывную дробь.

Это может быть применено к последовательности любой длины и, следовательно, также применимо к бесконечному случаю.

Примеры

Экспоненциальная функция

Экспоненциальная функция еz является вся функция с разложением в степенной ряд, равномерно сходящимся на каждой ограниченной области комплексной плоскости.

Применять формулу непрерывной дроби Эйлера просто:

Применяя преобразование эквивалентности который состоит из очистки дробей, этот пример упрощен до

и мы можем быть уверены, что эта цепная дробь сходится равномерно в любой ограниченной области комплексной плоскости, поскольку она эквивалентна степенному ряду для еz.

Натуральный логарифм

В Серия Тейлор для главный филиал натурального логарифма в окрестности z = 1 хорошо известно:

Этот ряд сходится при |z| <1 и также может быть выражено как сумма произведений:[3]

Применение формулы Эйлера к этому выражению показывает, что

и использование преобразования эквивалентности для очистки всех дробей приводит к


Эта цепная дробь сходится, когда |z| <1, потому что он эквивалентен серии, из которой он был получен.[3]

Тригонометрические функции

В Серия Тейлор из синус функция сходится по всей комплексной плоскости и может быть выражена как сумма произведений.

Затем можно применить формулу непрерывной дроби Эйлера

Для очистки знаменателей используется преобразование эквивалентности:

Такой же аргумент может применяться к косинус функция:

Обратные тригонометрические функции

В обратные тригонометрические функции можно представить в виде непрерывных дробей.

Преобразование эквивалентности дает

Непрерывная дробь для обратная тангенс просто:

Цепная дробь для π

Мы можем использовать предыдущий пример с использованием арктангенса, чтобы построить представление непрерывной дроби π. Отметим, что

И установка Икс = 1 в предыдущем результате сразу получаем

Гиперболические функции

Напоминая о связи между гиперболические функции и тригонометрические функции,

И это следующие непрерывные дроби легко выводятся из приведенных выше:

Обратные гиперболические функции

В обратные гиперболические функции связаны с обратными тригонометрическими функциями аналогично тому, как гиперболические функции связаны с тригонометрическими функциями,

И эти непрерывные дроби легко выводятся:

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Леонард Эйлер (1748), "18", Введение в анализин бесконечный, я
  2. ^ (Стена 1948 г., п. 17)
  3. ^ а б Этот ряд сходится при |z| <1, по Тест Авеля (применяется к серии для журнала (1 -z)).

Рекомендации

  • Х. С. Уолл, Аналитическая теория непрерывных дробей, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 г .; перепечатано (1973) издательством Chelsea Publishing Company ISBN  0-8284-0207-8.