Гипотеза Ферма – Каталонии - Fermat–Catalan conjecture

В теория чисел, то Гипотеза Ферма – Каталонии является обобщением Последняя теорема Ферма и из Гипотеза Каталонии, отсюда и название. Гипотеза утверждает, что уравнение

${displaystyle a ^ {m} + b ^ {n} = c ^ {k} quad}$

(1)

имеет только конечное число решений (а,б,c,м,п,k) с различными тройками значений (а^м, б^п, c^k) куда а, б, c положительные совмещать целые числа и м, п, k натуральные числа, удовлетворяющие

${displaystyle {frac {1} {m}} + {frac {1} {n}} + {frac {1} {k}} <1.}$

(2)

Неравенство на м, п, и k является необходимой частью гипотезы. Без неравенства решений было бы бесконечно много, например с k = 1 (для любого а, б, м, и п и с c = а^м + б^п) или с м, п, и k все равны двум (для бесконечно многих известных Пифагорейские тройки ).

Известные решения

По состоянию на 2015 год известны следующие десять решений уравнения (1), отвечающих критериям уравнения (2):^[1]

${displaystyle 1 ^ {m} + 2 ^ {3} = 3 ^ {2};}$ (за ${displaystyle m> 6}$ чтобы удовлетворить уравнение. 2)

${displaystyle 2 ^ {5} + 7 ^ {2} = 3 ^ {4};}$

${displaystyle 7 ^ {3} + 13 ^ {2} = 2 ^ {9};}$

${displaystyle 2 ^ {7} + 17 ^ {3} = 71 ^ {2};}$

${displaystyle 3 ^ {5} + 11 ^ {4} = 122 ^ {2};}$

${displaystyle 33 ^ {8} + 1549034 ^ {2} = 15613 ^ {3};}$

${displaystyle 1414 ^ {3} + 2213459 ^ {2} = 65 ^ {7};}$

${displaystyle 9262 ^ {3} + 15312283 ^ {2} = 113 ^ {7};}$

${displaystyle 17 ^ {7} + 76271 ^ {3} = 21063928 ^ {2};}$

${displaystyle 43 ^ {8} + 96222 ^ {3} = 30042907 ^ {2};}$

Первый из них (1^м + 2³ = 3²) - единственное решение, в котором одно из а, б или же c равно 1, согласно Каталонское предположение, доказано в 2002 г. Преда Михайлеску. Хотя этот случай приводит к бесконечному числу решений (1) (так как можно выбрать любое м за м > 6), эти решения дают только одну тройку значений (а^м, б^п, c^k).

Частичные результаты

Он известен по теореме Дармона – Гранвилля, в которой используется Теорема Фальтингса, что для любого фиксированного выбора натуральных чисел м, п и k удовлетворяющие (2), только конечное число взаимно простых троек (а, б, c) решения (1) существуют.^{[2][3]:п. 64} Однако полная гипотеза Ферма – Каталана сильнее, поскольку она допускает экспоненты м, п и k варьироваться.

В гипотеза abc следует гипотеза Ферма – Каталана.^[4]

Список результатов для невозможных комбинаций показателей см. Гипотеза Била # частичные результаты. Гипотеза Биля верна тогда и только тогда, когда все решения Ферма – Каталонии имеют м = 2, п = 2 или k = 2.

Смотрите также

• Суммы полномочий, список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

внешняя ссылка

• Perfect Powers: работы Пиллаи и их разработки. Вальдшмидт, М.