Среднее геометрическое – гармоническое - Geometric–harmonic mean

В математика, то среднее геометрическое гармоническое М (Икс, y) двух положительных действительные числа Икс и y определяется следующим образом: мы формируем среднее геометрическое из г0 = Икс и час0 = y и назови это г1, т.е. г1 это квадратный корень из ху. Мы также формируем гармоническое среднее из Икс и y и назови это час1, т.е. час1 это взаимный из среднее арифметическое обратных Икс и y. Это можно делать последовательно (в любом порядке) или одновременно.

Теперь мы можем повторить эту операцию с помощью г1 заняв место Икс и час1 заняв место y. Таким образом, два последовательности (гп) и (часп) определены:

и

Обе эти последовательности сходиться на тот же номер, который мы называем среднее геометрическое гармоническое М (Иксy) из Икс иy. Среднее геометрическое гармоническое также обозначается как гармоническое – геометрическое среднее. (см. ниже Wolfram MathWorld.)

Существование предела можно доказать с помощью Теорема Больцано – Вейерштрасса способом, почти идентичным доказательству существования среднее арифметико-геометрическое.

Свойства

М (Иксy) представляет собой число между геометрическим и гармоническим средним значением Икс и y; в частности, это между Икс и y. М (Иксy) это также однородный, т.е. если р > 0, то M (rxry) = р М (Иксy).

Если AG (Икс, y) это среднее арифметико-геометрическое, то мы также имеем

Неравенства

Имеется следующее неравенство с пифагоровыми средними {ЧАСгА} и повторные пифагорейские средства {HGHAGA}:

где повторяющиеся средние Пифагора были отождествлены со своими частями {ЧАСгА} в прогрессивном порядке:

  • ЧАС(Иксy) - гармоническое среднее,
  • HG(Иксy) - среднее геометрическое гармоническое,
  • г(Иксy) = HA(Иксy) - среднее геометрическое (которое также является средним гармоническим арифметическим),
  • GA(Иксy) - среднее геометрическое арифметическое,
  • А(Иксy) - среднее арифметическое.

Смотрите также

внешние ссылки

  • Вайсштейн, Эрик В. «Гармонико-геометрическое среднее». MathWorld.