Самолет холла - Википедия - Hall plane

В математике Плоскость холла это недезаргова проективная плоскость построенный Маршалл Холл мл. (1943).[1] Есть примеры заказа для каждого прайма п и каждое положительное целое число п при условии .[2]

Алгебраическое построение через системы Холла

Первоначальная конструкция самолетов Холла была основана на Холле. квазиполе (также называемый Система холла), ЧАС порядка за п прайм. Построение плоскости - это стандартная конструкция на основе квазиполя (см. Quasifield # Проективные плоскости для подробностей.).

Чтобы построить квазиполе Холла, начните с Поле Галуа, за п простое число и квадратичный неприводимый многочлен над F. Продлевать , двумерное векторное пространство над F, в квазиполе, задав умножение векторов на когда и иначе.

Написание элементов ЧАС в терминах базиса <1, λ>, т. е. отождествляя (Икс,у) с Икс + λу в качестве Икс и у варьироваться F, мы можем идентифицировать элементы F как упорядоченные пары (Икс, 0), т.е. Икс + λ0. Свойства заданного умножения, которые поворачивают правое векторное пространство ЧАС в квазиполе:

  1. каждый элемент α из ЧАС не в F удовлетворяет квадратному уравнению f (α) = 0;
  2. F находится в ядре ЧАС (означает, что (α + β) c = αc + βc и (αβ) c = α (βc) для всех α, β в ЧАС и все с в F); и
  3. каждый элемент F коммутирует (мультипликативно) со всеми элементами ЧАС.[3]

Вывод

Другая конструкция, которая производит плоскости Холла, получается путем применения вывода к Дезарговские самолеты.

Процесс, созданный Т. Г. Остромом, который заменяет определенные наборы прямых в проективной плоскости альтернативными наборами таким образом, чтобы новая структура оставалась проективной плоскостью, называется происхождение. Приведем подробности этого процесса.[4] Начните с проективная плоскость порядка и обозначьте одну строку как его линия на бесконечности. Позволять А быть аффинная плоскость . Множество D из точки называется производное множество если для каждой пары различных точек Икс и Y из А которые определяют линейное собрание в точке D, Существует Подплан Бэра содержащий Икс, Y и D (мы говорим, что такие подплоскости Бэра принадлежать к D.) Определите новую аффинную плоскость следующим образом: точки точки А. Линии линии которые не встречаются в точке D (ограниченный А) и подплоскости Бэра, принадлежащие D (ограниченный А). Набор аффинная плоскость порядка и это, или его проективное завершение, называется производная плоскость.[5]

Характеристики

  1. Плоскости зала самолеты перевода.
  2. Плоскость Холла порядка 9 - единственная проективная плоскость Тип Ленца-Барлотти IVa.3, конечный или бесконечный.[6] Все остальные самолеты Холла относятся к типу Ленца-Барлотти IVa.1.
  3. Все конечные холловские плоскости одного порядка изоморфны.
  4. Самолеты холла не самодвойственный.
  5. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка 2 (Подпланы Fano ).
  6. Все конечные плоскости Холла содержат подплоскости порядка, отличного от 2.
  7. Плоскости зала Самолеты Андре.

Самая маленькая плоскость Холла (заказ 9)

Плоскость Холла порядка 9 действительно была обнаружена ранее Освальд Веблен и Джозеф Уэддерберн в 1907 г.[7] Есть четыре квазитела девятого порядка, которые можно использовать для построения плоскости Холла девятого порядка. Три из них - системы Холла, порожденные неприводимыми многочленами , или же . [8] Первый из них дает ассоциативное квазиполе,[9] это ближнее поле, и именно в этом контексте самолет был обнаружен Вебленом и Веддерберном. Эту плоскость часто называют плоскостью ближнего поля девятого порядка.

Примечания

  1. ^ Холл младший (1943)
  2. ^ Хотя конструкции обеспечат проективную плоскость порядка 4, единственной такой плоскостью является Дезарговский и обычно не считается плоскостью Холла.
  3. ^ Хьюз и Пайпер (1973), стр. 183)
  4. ^ Хьюз и Пайпер (1973), pp. 202–218, Chapter X. Derivation).
  5. ^ Хьюз и Пайпер (1973), стр. 203, теорема 10.2)
  6. ^ Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275, стр. 126.
  7. ^ Веблен и Веддерберн (1907)
  8. ^ Стивенсон (1972 г., стр. 333–334).
  9. ^ Хьюз и Пайпер (1973), стр. 186)

Рекомендации