Лемма Хёффдингса - Википедия - Hoeffdings lemma

В теория вероятности, Лемма Хёффдинга является неравенство что ограничивает момент-производящая функция любой ограниченный случайная переменная.[1] Он назван в честь ФинскийАмериканец математик-статистик Василий Хёффдинг.

Доказательство леммы Хёффдинга использует Теорема Тейлора и Неравенство Дженсена. Сама лемма Хёффдинга используется при доказательстве Неравенство МакДиармида.

Утверждение леммы

Позволять Икс - любая случайная величина с действительным знаком с ожидаемое значение , так что почти наверняка, т.е. с вероятностью единица. Тогда для всех ,

Обратите внимание, что приведенное ниже доказательство основано на предположении, что случайная величина имеет нулевое ожидание (т.е. предполагая, что ), следовательно и в лемме должно удовлетворять . Для любой случайной величины, которая не подчиняется этому предположению, мы можем определить , которые подчиняются предположениям и применяют доказательство на .

Краткое доказательство леммы

С является выпуклой функцией от , у нас есть

Так,

Позволять , и

Потом, поскольку

Взяв производную от ,

для всех ч.

По расширению Тейлора,

Следовательно,

(Доказательство ниже - это то же доказательство с дополнительными пояснениями.)

Более подробное доказательство

Сначала обратите внимание, что если один из или же равно нулю, то и следует неравенство. Если оба ненулевые, то должно быть отрицательным и должен быть положительным.

Далее напомним, что это выпуклая функция на реальной линии:

Применение к обеим сторонам указанного неравенства дает нам:

Позволять и определите:

хорошо определен на , чтобы увидеть это, мы вычисляем:

Определение подразумевает

К Теорема Тейлора, для каждого реального существует между и такой, что

Обратите внимание, что:

Следовательно,

Из этого следует

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Паскаль Массарт (26 апреля 2007 г.). Неравенство концентраций и выбор модели: Ecole d'Eté de Probabilités de Saint-Flour XXXIII - 2003. Springer. п. 21. ISBN  978-3-540-48503-2.