Теорема единственности Хольмгренса - Википедия - Holmgrens uniqueness theorem

В теории уравнения в частных производных, Теорема единственности Холмгрена, или просто Теорема Холмгрена, названный в честь шведского математика Эрик Альберт Холмгрен (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнения в частных производных с настоящий аналитик коэффициенты.^[1]

Простая форма теоремы Хольмгрена

Мы будем использовать многоиндексная запись:Позволять ${ displaystyle alpha = { alpha _ {1}, dots, alpha _ {n} } in mathbb {N} _ {0} ^ {n},}$ ,с ${ displaystyle mathbb {N} _ {0}}$ обозначающие неотрицательные целые числа; обозначим ${ Displaystyle | альфа | = альфа _ {1} + cdots + альфа _ {п}}$ и

{ Displaystyle partial _ {x} ^ { alpha} = left ({ frac { partial} { partial x_ {1}}} right) ^ { alpha _ {1}} cdots left ({ frac { partial} { partial x_ {n}}} right) ^ { alpha _ {n}}}

.

Теорема Холмгрена в более простой форме может быть сформулирована следующим образом:

Предположить, что п = ∑_|α| ≤м А_α(х) ∂^α
_Икс является эллиптический оператор в частных производных с аналитический коэффициенты. Если Пу является вещественно-аналитическим в связной открытой окрестности Ω ⊂ р^п, тогда ты также является вещественно-аналитическим.

Это утверждение, в котором «аналитический» заменен на «гладкий», является Герман Вейль классическая лемма о эллиптическая регулярность:^[2]

Если п является эллиптическим дифференциальным оператором и Пу гладко в Ω, тогда ты также гладкий в Ω.

Это утверждение можно доказать, используя Соболевские пространства.

Классическая форма

Позволять ${ displaystyle Omega}$ быть связной открытой окрестностью в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , и разреши ${ displaystyle Sigma}$ аналитическая гиперповерхность в ${ displaystyle Omega}$ , таких, что есть два открытых подмножества ${ displaystyle Omega _ {+}}$ и ${ displaystyle Omega _ {-}}$ в ${ displaystyle Omega}$ , непустые и связанные, не пересекающиеся ${ displaystyle Sigma}$ ни друг друга, так что ${ displaystyle Omega = Omega _ {-} cup Sigma cup Omega _ {+}}$ .

Позволять ${ displaystyle P = sum _ {| alpha | leq m} A _ { alpha} (x) partial _ {x} ^ { alpha}}$ - дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.

Предположим, что гиперповерхность ${ displaystyle Sigma}$ нехарактерна по отношению к ${ displaystyle P}$ в каждой точке:

{ Displaystyle mathop { rm {Char}} P cap N ^ {*} Sigma = emptyset}

.

Над,

{ displaystyle mathop { rm {Char}} P = {(x, xi) subset T ^ {*} mathbb {R} ^ {n} backslash 0: sigma _ {p} (P ) (x, xi) = 0 }, { text {with}} sigma _ {p} (x, xi) = sum _ {| alpha | = m} i ^ {| alpha | } A _ { alpha} (x) xi ^ { alpha}}

то главный символ из ${ displaystyle P}$ . ${ Displaystyle N ^ {*} Sigma}$ это конормальный пучок к ${ displaystyle Sigma}$ , определяется как ${ Displaystyle N ^ {*} Sigma = {(x, xi) in T ^ {*} mathbb {R} ^ {n}: x in Sigma, , xi | _ {T_ {x} Sigma} = 0 }}$ .

Классическая формулировка теоремы Хольмгрена выглядит следующим образом:

Теорема Холмгрена

Позволять ${ displaystyle u}$ быть распределением в ${ displaystyle Omega}$ такой, что ${ displaystyle Pu = 0}$ в ${ displaystyle Omega}$ . Если ${ displaystyle u}$ исчезает в ${ displaystyle Omega _ {-}}$ , то он исчезает в открытой окрестности ${ displaystyle Sigma}$ .^[3]

Связь с теоремой Коши – Ковалевского

Рассмотрим проблему

{ displaystyle partial _ {t} ^ {m} u = F (t, x, partial _ {x} ^ { alpha} , partial _ {t} ^ {k} u), quad альфа in mathbb {N} _ {0} ^ {n}, quad k in mathbb {N} _ {0}, quad | alpha | + k leq m, quad k leq m -1,}

с данными Коши

{ displaystyle partial _ {t} ^ {k} u | _ {t = 0} = phi _ {k} (x), qquad 0 leq k leq m-1,}

Предположить, что ${ Displaystyle F (т, х, г)}$ является вещественно-аналитическим по всем своим аргументам в окрестности ${ displaystyle t = 0, x = 0, z = 0}$ и это ${ Displaystyle phi _ {к} (х)}$ вещественно-аналитичны в окрестности ${ displaystyle x = 0}$ .

Теорема (Коши – Ковалевски)

Есть уникальное реально-аналитическое решение ${ Displaystyle и (т, х)}$ в районе ${ Displaystyle (т, х) = (0,0) в ( mathbb {R} раз mathbb {R} ^ {n})}$ .