Гиперболическое метрическое пространство - Википедия - Hyperbolic metric space

В математике гиперболическое метрическое пространство это метрическое пространство удовлетворяющие определенным метрическим соотношениям (количественно зависящим от неотрицательного действительного числа δ) между точками. Определение, введенное Михаил Громов, обобщает метрические свойства классических гиперболическая геометрия и из деревья. Гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое очень полезно для изучения некоторых бесконечных группы позвонил (Громов-)гиперболические группы.

Определения

В этом абзаце мы даем различные определения ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство. Метрическое пространство называется (по Громову) гиперболическим, если оно ${ displaystyle delta}$ -гиперболический для некоторых ${ displaystyle delta> 0}$ .

Определение с использованием произведения Громова

Позволять ${ displaystyle (X, d)}$ быть метрическое пространство. В Громова произведение из двух точек ${ displaystyle y, z in X}$ по отношению к третьему ${ displaystyle x in X}$ определяется формулой:

{ displaystyle (y, z) _ {x} = { frac {1} {2}} left (d (x, y) + d (x, z) -d (y, z) right). }

Громов определяет гиперболическое метрическое пространство следующим образом: ${ displaystyle X}$ является ${ displaystyle delta}$ -гиперболический тогда и только тогда, когда все ${ displaystyle x, y, z, w in X}$ удовлетворить четырехточечное условие

{ displaystyle (x, z) _ {w} geq min left ((x, y) _ {w}, (y, z) _ {w} right) - delta}

Обратите внимание, что если это условие выполняется для всех ${ displaystyle x, y, z in X}$ и одна фиксированная базовая точка ${ displaystyle w_ {0}}$ , то она для всех удовлетворяется постоянной ${ displaystyle 2 delta}$ .^[1] Таким образом, условие гиперболичности нужно проверять только для одной фиксированной базовой точки; по этой причине индекс базовой точки в произведении Громова часто опускается.

Определения с использованием треугольников

До изменения ${ displaystyle delta}$ постоянным кратным, существует эквивалентное геометрическое определение, включающее треугольники, когда метрическое пространство ${ displaystyle X}$ является геодезический, т.е. любые две точки ${ displaystyle x, y in X}$ конечные точки геодезического отрезка ${ Displaystyle [х, у]}$ (изометрическое изображение компактного подынтервала ${ Displaystyle [а, б]}$ реалов). ^[2]^[3] ^[4] Обратите внимание, что определение с помощью произведений Громова не требует, чтобы пространство было геодезическим.

Позволять ${ displaystyle x, y, z in X}$ . Геодезический треугольник с вершинами ${ displaystyle x, y, z}$ объединение трех геодезических отрезков ${ Displaystyle [х, y], [y, z], [z, x]}$ (куда ${ displaystyle [p, q]}$ обозначает сегмент с конечными точками ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ ).

{ displaystyle x}

{ displaystyle y}

{ displaystyle z}

{ Displaystyle В _ { дельта} ([х, у])}

{ Displaystyle В _ { дельта} ([г, х])}

{ displaystyle B _ { delta} ([y, z])}

Условие δ-тонкого треугольника

Если для любой точки ${ Displaystyle м в [х, у]}$ есть смысл в ${ Displaystyle [y, z] чашка [z, x]}$ на расстоянии меньше чем ${ displaystyle delta}$ из ${ displaystyle m}$ , и аналогично для точек на других краях, и ${ displaystyle delta geq 0}$ тогда треугольник называется ${ displaystyle delta}$ -стройный .

Определение ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство - это геодезическое метрическое пространство, все геодезические треугольники которого ${ displaystyle delta}$ -стройный. Это определение обычно приписывают Элияху Рипс.

Другое определение можно дать, используя понятие ${ displaystyle C}$ -приблизительный центр геодезического треугольника: это точка, которая находится на расстоянии не более ${ displaystyle C}$ любого ребра треугольника («приблизительный» вариант стимулятор ). Пространство ${ displaystyle delta}$ -гиперболический, если каждый геодезический треугольник имеет ${ displaystyle delta}$ -центр.

Эти два определения ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство с использованием геодезических треугольников не совсем эквивалентно, но существует ${ displaystyle k> 1}$ так что ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство в первом смысле - это ${ Displaystyle к cdot delta}$ -гиперболический во втором, и наоборот.^[5] Таким образом, понятие гиперболического пространства не зависит от выбранного определения.

Примеры

В гиперболическая плоскость гиперболичен: на самом деле окружать геодезического треугольника - это окружность наибольшего диаметра, содержащаяся в треугольнике, и каждый геодезический треугольник лежит внутри идеального треугольника, все из которых изометричны с вписанными окружностями диаметра 2 log 3.^[6] Заметим, что в этом случае произведение Громова также имеет простую интерпретацию в терминах вписанной окружности геодезического треугольника. Фактически количество $(А, B) C$ это просто гиперболическое расстояние $п$ из $C$ к любой из точек соприкосновения вписанной окружности со смежными сторонами: для из диаграммы $c = (а - п) + (б - п)$ , так что $п = (а + б - c)/2 = (А, B) C$ .^[7]

В Евклидова плоскость не является гиперболическим, например, из-за существования гомотетии.

Два «вырожденных» примера гиперболических пространств - это пространства с ограниченным диаметром (например, конечные или компактные пространства) и вещественная прямая.

Метрическая деревья и вообще настоящие деревья являются простейшими интересными примерами гиперболических пространств, поскольку они являются 0-гиперболическими (т.е. все треугольники являются треногами).

1-скелет триангуляции евклидовыми равносторонними треугольниками не является гиперболическим (фактически он квазиизометричен евклидовой плоскости). Триангуляция плоскости ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ имеет гиперболический 1-скелет, если каждая вершина имеет степень 7 или больше.

Двумерная сетка не является гиперболической (она квазиизометрична евклидовой плоскости). Это Граф Кэли из фундаментальная группа из тор; граф Кэли фундаментальных групп поверхности высшего рода гиперболичен (фактически, он квазиизометричен гиперболической плоскости).

Гиперболичность и кривизна

Гиперболическая плоскость (и вообще любая Многообразия Адамара из секционная кривизна ${ displaystyle leq -1}$ ) является ${ displaystyle 2}$ -гиперболический. Если масштабировать риманову метрику в множитель ${ displaystyle lambda> 0}$ то расстояния умножаются на ${ displaystyle lambda}$ и таким образом мы получаем пространство, которое ${ displaystyle lambda cdot delta}$ -гиперболический. Поскольку кривизна умножается на ${ displaystyle lambda ^ {- 1}}$ мы видим, что в этом примере «чем больше (отрицательно) искривлено пространство, тем оно более гиперболично (измеряется его константой гиперболичности ${ displaystyle delta}$ )".

Подобные примеры CAT пространства отрицательной кривизны. Что касается кривизны и гиперболичности, следует отметить, однако, что, хотя кривизна является свойством, которое по существу является локальным, гиперболичность - это крупномасштабное свойство, которое не видит локальных (то есть происходящих в ограниченной области) метрических явлений. Например, объединение гиперболического пространства с компактным пространством с любой метрикой, продолжающей исходные, остается гиперболическим.

Важные свойства

Инвариантность относительно квазиизометрии

Один из способов уточнить значение термина «большой масштаб» - потребовать инвариантности при квазиизометрия. Это верно в отношении гиперболичности.

Если геодезическое метрическое пространство ${ displaystyle Y}$ квазиизометрично ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство ${ displaystyle X}$ тогда существует ${ displaystyle delta '}$ такой, что ${ displaystyle Y}$ является ${ displaystyle delta '}$ -гиперболический.

Постоянная ${ displaystyle delta '}$ зависит от ${ displaystyle delta}$ а также о мультипликативных и аддитивных константах квазиизометрии.^[8]

Приближенные деревья в гиперболических пространствах

Определение гиперболического пространства в терминах произведения Громова можно рассматривать как утверждение, что метрические отношения между любыми четырьмя точками такие же, как и в дереве, с точностью до аддитивной константы ${ displaystyle delta}$ . В более общем плане следующее свойство показывает, что любое конечное подмножество гиперболического пространства выглядит как конечное дерево.

Для любого ${ displaystyle n, delta}$ есть постоянный ${ displaystyle C}$ такое, что имеет место следующее: если ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ точки в ${ displaystyle delta}$ -гиперболическое пространство ${ displaystyle X}$ есть конечное дерево ${ displaystyle T}$ и вложение ${ displaystyle f: T to X}$ такой, что ${ displaystyle x_ {i} in f (T)}$ для всех ${ Displaystyle я = 1, ldots, п}$ и

{ displaystyle forall i, j: d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) leq d (x_ {i}, x_ {j}) ) leq d (f ^ {- 1} (x_ {i}), f ^ {- 1} (x_ {j})) + C}

Постоянная ${ displaystyle C}$ можно принять за ${ Displaystyle дельта CDOT ч (п)}$ с ${ Displaystyle ч (п) = О ( журнал п)}$ и это оптимально.^[9]

Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрических неравенств

В гиперболическом пространстве ${ displaystyle X}$ у нас есть следующее свойство:^[10]

Есть ${ displaystyle mu, K> 0}$ такой, что для всех ${ displaystyle p, x, y in X}$ с ${ Displaystyle d (p, x) = d (p, y) =: r}$ , каждый путь ${ displaystyle alpha}$ присоединение ${ displaystyle x}$ к ${ displaystyle y}$ и оставаясь на расстоянии хотя бы ${ displaystyle r}$ из ${ displaystyle p}$ имеет длину не менее ${ displaystyle e ^ { mu cdot d (x, y)} - K}$ .

Неформально это означает, что окружность «круга» радиуса ${ displaystyle r}$ растет экспоненциально с ${ displaystyle r}$ . Это напоминает изопериметрическая задача на евклидовой плоскости. Вот более конкретное заявление на этот счет.^[11]

Предположим, что ${ displaystyle X}$ это клеточный комплекс размерности 2 такой, что его 1-скелет гиперболичен, и существует ${ displaystyle C}$ такое, что граница любой 2-клетки содержит не более ${ displaystyle C}$ 1-кл. Тогда есть постоянная ${ displaystyle lambda> 0}$ такое, что для любого конечного подкомплекса ${ Displaystyle Y подмножество X}$ у нас есть

{ displaystyle operatorname {area} (Y) leq lambda cdot operatorname {length ( partial Y)}}

Здесь площадь 2-комплекса - это количество 2-ячеек, а длина 1-комплекса - это количество 1-ячеек. Приведенное выше утверждение является линейным изопериметрическое неравенство ; оказывается, что наличие такого изопериметрического неравенства характеризует Громов-гиперболические пространства.^[12] Линейные изопериметрические неравенства были вдохновлены небольшая отмена условия от комбинаторная теория групп.

Квазивыпуклые подпространства

Подпространство ${ displaystyle Y}$ геодезического метрического пространства ${ displaystyle X}$ называется квазивыпуклой, если существует постоянная ${ displaystyle C}$ такая, что любая геодезическая в ${ displaystyle x}$ между двумя точками ${ displaystyle Y}$ находится на расстоянии ${ displaystyle C}$ из ${ displaystyle Y}$ .

Квазивыпуклое подпространство гиперболического пространства гиперболично.

Асимптотические конусы

Все асимптотические конусы гиперболического пространства настоящие деревья. Это свойство характеризует гиперболические пространства.^[13]

Граница гиперболического пространства

Обобщая конструкцию заканчивается Для симплициального дерева существует естественное понятие границы на бесконечности для гиперболических пространств, которое оказалось очень полезным для анализа действий групп.

В этом абзаце ${ displaystyle X}$ является геодезическим метрическим пространством, которое является гиперболическим.

Определение с использованием произведения Громова

Последовательность ${ displaystyle (x_ {n}) in X ^ { mathbb {N}}}$ говорят сходятся к бесконечности если для какой-то (или любой) точки ${ displaystyle p}$ у нас есть это ${ displaystyle (x_ {n}, x_ {m}) _ {p} rightarrow infty}$ Как оба ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle m}$ уйти в бесконечность. Две последовательности ${ Displaystyle (х_ {п}), (у_ {п})}$ сходящиеся к бесконечности считаются эквивалентными, когда ${ Displaystyle lim _ {п к + infty} (x_ {n}, y_ {n}) _ {p} = + infty}$ (для некоторых или любых ${ displaystyle p}$ ). В граница из ${ displaystyle X}$ - множество классов эквивалентности последовательностей, сходящихся к бесконечности,^[14] который обозначается ${ displaystyle partial X}$ .

Если ${ displaystyle xi, eta}$ являются двумя точками на границе, то их произведение Громова определяется как:

{ Displaystyle ( xi, eta) = sup _ {(x_ {n}) = xi, (y_ {n}) = eta} left ( liminf _ {n, m to + infty } (x_ {n}, y_ {m}) _ {p} right)}

которая конечна и не зависит от ${ displaystyle p in X}$ . Затем можно определить топологию на ${ displaystyle partial X}$ используя функции ${ Displaystyle ( cdot, xi)}$ .^[15] Эта топология на ${ displaystyle partial X}$ метризуем, и существует особенное семейство метрик, определяемых с помощью произведения Громова.^[16]

Определение собственных пространств с использованием лучей

Позволять ${ displaystyle alpha, beta}$ быть двумя квазиизометрические вложения из ${ displaystyle [0, + infty [}]$ в ${ displaystyle X}$ («квазигеодезические лучи»). Они считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда функция ${ Displaystyle т mapsto d ( альфа (т), бета (т))}$ ограничен ${ displaystyle [0, + infty [}]$ . Если пространство ${ displaystyle X}$ собственно, то множество всех таких вложений по модулю эквивалентности со своей естественной топологией гомеоморфно ${ displaystyle partial X}$ как определено выше.^[17]

Аналогичная реализация заключается в том, чтобы зафиксировать базовую точку и рассматривать только квазигеодезические лучи, исходящие из этой точки. В случае ${ displaystyle X}$ является геодезическим и собственным, можно также ограничиться настоящими геодезическими лучами.

Примеры

Когда ${ Displaystyle X = T}$ является симплициальным регулярным деревом, граница - это просто пространство концов, которое является канторовым множеством. Фиксация точки ${ displaystyle x in T}$ дает естественное расстояние на ${ displaystyle partial T}$ : две точки, представленные лучами ${ displaystyle alpha, beta}$ происходящий из ${ displaystyle x}$ на расстоянии ${ displaystyle exp (- operatorname {Length} ( alpha cap beta))}$ .

Когда ${ displaystyle X}$ - единичный диск, т.е. Модель диска Пуанкаре для гиперболической плоскости гиперболическая метрика на круге есть

{ displaystyle ds ^ {2} = {4 | dz | ^ {2} over (1- | z | ^ {2}) ^ {2}}}

а границу Громова можно отождествить с единичной окружностью.

Граница ${ displaystyle n}$ -мерное гиперболическое пространство гомеоморфно пространству ${ displaystyle n-1}$ -мерная сфера и метрика аналогичны указанной выше.

Функции Буземана

Если ${ displaystyle X}$ собственно, то его граница гомеоморфна пространству Функции Буземана на ${ displaystyle X}$ по модулю переводов.^[18]

Действие изометрий на границе и их классификация

Квазиизометрия между двумя гиперболическими пространствами ${ displaystyle X, Y}$ индуцирует гомеоморфизм между границами.

В частности, группа изометрий ${ displaystyle X}$ действует гомеоморфизмами на ${ displaystyle partial X}$ . Это действие можно использовать^[19] классифицировать изометрии в соответствии с их динамическим поведением на границе, обобщая это для деревьев и классических гиперболических пространств. Позволять ${ displaystyle g}$ быть изометрией ${ displaystyle X}$ , то произойдет один из следующих случаев:

Первый случай: ${ displaystyle g}$ имеет ограниченную орбиту на ${ displaystyle X}$ (в случае ${ displaystyle X}$ правильно это означает, что ${ displaystyle g}$ имеет фиксированную точку в ${ displaystyle X}$ ). Тогда это называется эллиптический изометрия.
Второй случай: ${ displaystyle g}$ имеет ровно две неподвижные точки ${ Displaystyle xi _ {+}, xi _ {-}}$ на ${ displaystyle partial X}$ и каждая положительная орбита ${ displaystyle {g ^ {n} xi: n geq 0 }, xi not = xi _ {-}}$ накапливается только в ${ displaystyle xi _ {+}}$ . потом ${ displaystyle g}$ называется гиперболический изометрия.
Третий случай: ${ displaystyle g}$ имеет ровно одну фиксированную точку на границе, и все орбиты накапливаются в этой точке. Тогда это называется параболический изометрия.

Еще примеры

Подмножества теории гиперболические группы можно использовать, чтобы дать больше примеров гиперболических пространств, например Граф Кэли из небольшая группа отмены. Также известно, что графы Кэли некоторых моделей случайные группы (который, по сути, представляет собой бесконечный регулярный граф, генерируемый случайным образом) очень часто бывает гиперболическим.

Доказать, что некоторые пространства гиперболичны, может быть сложно и интересно. Например, следующие результаты гиперболичности привели к открытию новых явлений для групп, действующих на них.

Гиперболичность комплекс кривой^[20] привел к новым результатам по группе классов отображения.^[21]
Точно так же гиперболичность некоторых графов^[22] связанной с внешней группой автоморфизмов Выход (Fn) привел к новым результатам в этой группе.

Смотрите также

Примечания

^ Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., стр. 2–3
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 2, предложение 21.
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.22.
^ Корнеарт, Дельзант и Пападопулос, стр. 6–8.
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.17.
^ Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., стр. 11–12
^ Coornaert, Delzant и Papadopoulos, 1990 г., п. 1–2 с
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 5, Предложение 15.
^ Bowditch 2006, Глава 6.4.
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Предложение 1.25.
^ более общее утверждение дается в Бридсон и Хефлигер (1999), Глава III.H, Предложение 2.7)
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г., Глава III.H, Теорема 2.9.
^ Дюбина (Эршлер), Анна; Полтерович, Иосиф (2001). «Явные конструкции универсального р-деревья и асимптотическая геометрия гиперболических пространств ». Бык. Лондонская математика. Soc. 33. С. 727–734. МИСТЕР 1853785.
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, стр. 120.
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, раздел 2.
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, раздел 3.
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 7, Предложение 4.
^ Бридсон и Хефлигер, 1999 г., п. 428.
^ де ла Харп и Гиз 1990, Глава 8.
^ Masur, Howard A .; Минский, Яир Н. (1999). «Геометрия комплекса кривых. I. Гиперболичность». Изобретать. Математика. 138. С. 103–149. МИСТЕР 1714338.
^ Дахмани, Франсуа; Гирардел, Винсент; Осин, Денис. «Гиперболически вложенные подгруппы и вращающиеся семейства в группах, действующих в гиперболических пространствах».
^ Бествина, Младен; Файн, Марк (2014). «Гиперболичность комплекса свободных факторов». Adv. Математика. 256. С. 104–155. МИСТЕР 3177291.

Гиперболическое метрическое пространство - Википедия - Hyperbolic metric space

Содержание

Определения

Определение с использованием произведения Громова

Определения с использованием треугольников

Примеры

Гиперболичность и кривизна

Важные свойства

Инвариантность относительно квазиизометрии

Приближенные деревья в гиперболических пространствах

Экспоненциальный рост расстояний и изопериметрических неравенств

Квазивыпуклые подпространства

Асимптотические конусы

Граница гиперболического пространства

Определение с использованием произведения Громова

Определение собственных пространств с использованием лучей

Примеры

Функции Буземана

Действие изометрий на границе и их классификация

Еще примеры

Смотрите также

Примечания

Рекомендации