Интеграция по формуле Эйлера - Википедия - Integration using Eulers formula

В интегральное исчисление, Формула Эйлера за сложные числа может использоваться для оценки интегралы с участием тригонометрические функции. Используя формулу Эйлера, любую тригонометрическую функцию можно записать в терминах комплексных экспоненциальных функций, а именно и а затем интегрировали. Этот метод часто проще и быстрее, чем использование тригонометрические тождества или же интеграция по частям, и достаточно мощный, чтобы интегрировать любые рациональное выражение с участием тригонометрических функций.

Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что [1]

Подстановка за дает уравнение

потому что косинус - четная функция, а синус - нечетная. Эти два уравнения можно решить относительно синуса и косинуса, чтобы получить

Примеры

Первый пример

Рассмотрим интеграл

Стандартный подход к этому интегралу заключается в использовании формула полуугла чтобы упростить подынтегральное выражение. Вместо этого мы можем использовать тождество Эйлера:

На этом этапе можно будет вернуться к действительным числам, используя формулу е2ix + е−2ix = 2 cos 2Икс. В качестве альтернативы мы можем интегрировать комплексные экспоненты и не возвращаться к тригонометрическим функциям до конца:

Второй пример

Рассмотрим интеграл

Этот интеграл было бы чрезвычайно утомительно решать с использованием тригонометрических тождеств, но использование тождества Эйлера делает его относительно безболезненным:

На этом этапе мы можем либо интегрировать напрямую, либо сначала изменить подынтегральное выражение на 2 cos 6Икс - 4 cos 4Икс + 2 cos 2Икс и продолжить оттуда. Любой метод дает

Использование реальных деталей

Помимо тождества Эйлера, может оказаться полезным разумное использование реальные части сложных выражений. Например, рассмотрим интеграл

С потому что Икс это настоящая часть еix, мы знаем это

Интеграл справа вычислить легко:

Таким образом:

Фракции

В общем, этот метод можно использовать для вычисления любых дробей, включающих тригонометрические функции. Например, рассмотрим интеграл

Используя тождество Эйлера, этот интеграл принимает вид

Если мы сейчас сделаем замена ты = еix, результатом является интеграл от рациональная функция:

Можно продолжить использование частичное разложение на фракции.

Смотрите также

Рекомендации