Кривая пересечения - Википедия - Intersection curve

В геометрия, кривая пересечения в простейшем случае представляет собой линию пересечения двух непараллельных плоскостей в трехмерном евклидовом пространстве. Как правило, кривая пересечения состоит из точек пересечения двух поперечно пересекающийся поверхности, что означает, что в любой общей точке нормали к поверхности не параллельны. Это ограничение исключает случаи, когда поверхности соприкасаются или имеют общие части поверхности.

Пересечение двух плоскостей

Аналитическое определение кривой пересечения двух поверхностей легко только в простых случаях; например: а) пересечение двух плоскостей, б) плоское сечение квадрика (сфера, цилиндр, конус и т. д.), в) пересечение двух квадрик в частных случаях. В общем случае в литературе приводятся алгоритмы для вычисления точек кривой пересечения двух поверхностей.^[1]

Линия пересечения двух плоскостей

Дано: два самолета ${ displaystyle varepsilon _ {i}: quad { vec {n}} _ {i} cdot { vec {x}} = d_ {i}, quad i = 1,2, quad { vec {n}} _ {1}, { vec {n}} _ {2}}$ линейно независимый, т.е. плоскости не параллельны.

Требуется: параметрическое представление ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} + т { vec {r}}}$ линии пересечения.

Направление линии получается от кросс-продукт нормальных векторов: ${ displaystyle { vec {r}} = { vec {n}} _ {1} times { vec {n}} _ {2}}$ .

Точка ${ displaystyle P: { vec {p}}}$ линии пересечения можно определить, пересекая заданные плоскости ${ displaystyle varepsilon _ {1}, varepsilon _ {2}}$ с самолетом ${ displaystyle varepsilon _ {3}: { vec {x}} = s_ {1} { vec {n}} _ {1} + s_ {2} { vec {n}} _ {2}}$ , которая перпендикулярна ${ displaystyle varepsilon _ {1}}$ и ${ displaystyle varepsilon _ {2}}$ . Вставка параметрического представления ${ displaystyle varepsilon _ {3}}$ в уравнения ${ displaystyle varepsilon _ {1}}$ унд ${ displaystyle varepsilon _ {2}}$ дает параметры ${ displaystyle s_ {1}}$ и ${ displaystyle s_ {2}}$ .

${ displaystyle P: { vec {p}} = { frac {d_ {1} ({ vec {n}} _ {2} cdot { vec {n}} _ {2}) - d_ { 2} ({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n}} _ {2})} {({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n} } _ {1}) ({ vec {n}} _ {2} cdot { vec {n}} _ {2}) - ({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n}} _ {2}) ^ {2}}} { vec {n}} _ {1} + { frac {d_ {2} ({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n}} _ {1}) - d_ {1} ({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n}} _ {2})} {({ vec {n }} _ {1} cdot { vec {n}} _ {1}) ({ vec {n}} _ {2} cdot { vec {n}} _ {2}) - ({ vec {n}} _ {1} cdot { vec {n}} _ {2}) ^ {2}}} { vec {n}} _ {2} .}$

Пример: ${ Displaystyle varepsilon _ {1}: x + 2y + z = 1, quad varepsilon _ {2}: 2x-3y + 2z = 2 .}$

Нормальные векторы ${ displaystyle { vec {n}} _ {1} = (1,2,1) ^ { top}, { vec {n}} _ {2} = (2, -3,2) ^ {верх }}$ а направление линии пересечения - ${ displaystyle { vec {r}} = { vec {n}} _ {1} times { vec {n}} _ {2} = (7,0, -7) ^ { top}}$ . Для точки ${ displaystyle P: { vec {p}}}$ , получается из формулы выше ${ displaystyle { vec {p}} = { tfrac {1} {2}} (1,0,1) ^ { top} .}$ Следовательно

{ displaystyle { vec {x}} = { tfrac {1} {2}} (1,0,1) ^ { top} + t (7,0, -7) ^ { top}}

является параметрическим представлением линии пересечения.

Примечания:

В особых случаях определение линии пересечения по Гауссово исключение может быть быстрее.
Если одна (или обе) плоскости заданы параметрически ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} + s { vec {v}} + т { vec {w}}}$ , получается ${ displaystyle { vec {n}} = { vec {v}} times { vec {w}}}$ как вектор нормали и уравнение: ${ displaystyle { vec {n}} cdot { vec {x}} = { vec {n}} cdot { vec {p}}}$ .

Кривая пересечения плоскости и квадрики

В любом случае кривая пересечения плоскости и квадрики (сферы, цилиндра, конуса, ...) есть коническая секция. Подробнее см.^[2] Важным применением плоских сечений квадрик являются контурные линии квадрик. В любом случае (параллельная или центральная проекция) контуры квадрик являются коническими сечениями. См. Ниже и Умриссконструкция.

Кривая пересечения цилиндра или конуса и квадрики

Определить точки пересечения прямой с квадрикой (т.е. линейная сфера ); нужно только решить квадратное уравнение. Итак, любая кривая пересечения конуса или цилиндра (они порождаются прямыми) с квадрикой состоит из точек пересечения прямых и квадрики (см. Рисунки).

На рисунках показаны возможности, возникающие при пересечении цилиндра и сферы:

В первом случае существует только одна кривая пересечения.
Во втором случае показан пример, в котором кривая пересечения состоит из двух частей.
В третьем случае сфера и цилиндр касаются друг друга в одной особой точке. Кривая пересечения является самопересекающейся.
Если цилиндр и сфера имеют одинаковый радиус, а средняя точка сферы расположена на оси цилиндра, то кривая пересечения состоит только из особых точек (окружности).

Пересечение сферы и цилиндра: одна часть
Пересечение сферы и цилиндра: две части

Пересечение сферы и цилиндра: кривая с одной особой точкой
Пересечение сферы и цилиндра: касание по особой кривой

Общий случай: походный способ

Кривая пересечения: принцип походного алгоритма

В общем, нет никаких особых возможностей для использования. Одной из возможностей определения многоугольника точек кривой пересечения двух поверхностей является маршевый метод (см. Раздел Рекомендации ). Он состоит из двух основных частей:

Первая часть - это алгоритм точки кривой, который определяет начальную точку в окрестности двух поверхностей точку на кривой пересечения. Алгоритм существенно зависит от представления данных поверхностей. В простейшей ситуации обе поверхности неявно задаются уравнениями ${ displaystyle f_ {1} (x, y, z) = 0, f_ {2} (x, y, z) = 0}$ , потому что функции предоставляют информацию о расстояниях до поверхностей и показывают через градиенты путь к поверхностям. Если одна или обе поверхности заданы параметрически, преимуществ неявного случая не существует. В этом случае алгоритм точки кривой использует трудоемкие процедуры, такие как определение точки основания кривой. перпендикуляр на поверхности.
Вторая часть метода марширования начинается с первой точки на кривой пересечения, определяет направление кривой пересечения с помощью нормалей поверхности, затем делает шаг с заданной длиной шага в направлении касательной линии, чтобы получить начальная точка для второй точки кривой, ... (см. рисунок).

Подробнее об алгоритме похода см.^[3]

Метод марширования создает для любой начальной точки многоугольник на кривой пересечения. Если кривая пересечения состоит из двух частей, алгоритм должен выполняться с использованием второй удобной отправной точки. Алгоритм довольно надежный. Обычно особые точки не представляют проблемы, потому что шанс встретить именно особую точку очень мал (см. Рисунок: пересечение цилиндра и поверхности ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$ ).

Пересечение ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$ с цилиндром: две части
Пересечение ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$ с цилиндром: одна часть
Пересечение ${ displaystyle x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} = 1}$ с цилиндром: одна особая точка

Применение: контурная линия

Точка ${ Displaystyle (х, у, г)}$ контурной линии неявной поверхности с уравнением ${ displaystyle f (x, y, z) = 0}$ и параллельная проекция с направлением ${ displaystyle { vec {v}}}$ должен выполнить условие ${ Displaystyle г (х, у, г) = набла е (х, у, г) cdot { vec {v}} = 0}$ , потому что ${ displaystyle { vec {v}}}$ должен быть касательным вектором, что означает, что любая точка контура является точкой кривой пересечения двух неявных поверхностей

{ Displaystyle е (х, y, z) = 0, g (x, y, z) = 0}

.

Для квадрик ${ displaystyle g}$ всегда является линейной функцией. Следовательно, контур квадрики всегда представляет собой плоское сечение (то есть коническое сечение).

Контурная линия поверхности ${ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4} + y ^ {4} + z ^ {4} -1 = 0}$ (см. рисунок) отслеживался маршевым способом.

Замечание: Определение контурного многоугольника параметрической поверхности ${ displaystyle { vec {x}} = { vec {x}} (s, t)}$ требуется трассировка неявной кривой в плоскости параметров.^[4]

Условие для точек контура:

{ Displaystyle г (s, t) = ({ vec {x}} _ {s} (s, t) times { vec {x}} _ {t} (s, t)) cdot { vec {v}} = 0}

.

Кривая пересечения двух многогранников

Кривая пересечения многогранников: три дома

Пересечение многогранников: два тора

Кривая пересечения двух многогранников представляет собой многоугольник (см. Пересечение трех домов). Отображение параметрически заданной поверхности обычно выполняется путем отображения прямоугольной сети в 3-мерное пространство. Пространственные четырехугольники почти плоские. Итак, для пересечения двух параметрически заданных поверхностей можно использовать алгоритм пересечения двух многогранников.^[5] Смотрите изображение пересекающихся торов.

Смотрите также

Точка пересечения

дальнейшее чтение

C: L: Баджадж, К.М. Hoffmann, R.E. Линч: Трассировка пересечений поверхностей, Комп. С помощью Geom. Дизайн 5 (1988), стр. 285-307.
R.E. Барнхилл, С. Керси: A Метод анализа для параметрической поверхности / пересечения поверхностей, Комп. С помощью Geom. Дизайн 7 (1990), стр. 257-280.
Р. Барнхилл, Г. Фарин, М. Джордан, Б. Пайпер: Поверхность / пересечение поверхности, Компьютерный геометрический дизайн 4 (1987), стр. 3-16.

[1] Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования, п. 94

[2] CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 МБ), стр. 87–124

[3] Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования, п. 94

[4] Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования, п. 99

[5] Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования п. 76

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]