Лемма Ито - Википедия - Itôs lemma

В математика, Лемма Ито является личность используется в Исчисление Ито найти дифференциал зависящей от времени функции случайный процесс. Он служит аналогом стохастического исчисления Правило цепи. Его можно эвристически вывести, сформировав Серия Тейлор разложение функции до ее вторых производных и сохранение членов до первого порядка по приращению времени и второго порядка по Винеровский процесс приращение. В лемма широко используется в математические финансы, и его наиболее известное применение - получение Уравнение Блэка – Шоулза для значений опций.

Неформальное происхождение

Формальное доказательство леммы опирается на предел последовательности случайных величин. Этот подход здесь не представлен, поскольку он включает в себя ряд технических деталей. Вместо этого мы даем набросок того, как можно вывести лемму Ито, расширяя ряд Тейлора и применяя правила стохастического исчисления.

Предполагать Икст является Ито дрейфово-диффузионный процесс что удовлетворяет стохастическое дифференциальное уравнение

куда Bт это Винеровский процесс. Если ж(т,Икс) является дважды дифференцируемой скалярной функцией, ее разложение по Серия Тейлор является

Подстановка Икст за Икс и поэтому μтdt + σтдБт за dx дает

В пределе dt → 0, условия dt2 и dt дБт стремятся к нулю быстрее, чем дБ2, который О(dt). Установка dt2 и dt дБт слагаемые до нуля, подставив dt за дБ2 (из-за квадратичной дисперсии Винеровский процесс ), и собирая dt и дБ условиях, получаем

как требуется.

Математическая формулировка леммы Ито

В следующих подразделах мы обсудим версии леммы Ито для различных типов случайных процессов.

Дрейфово-диффузионные процессы Ито (причастен: Кунита – Ватанабэ)

В простейшей форме лемма Ито утверждает следующее: для Ито дрейфово-диффузионный процесс

и любой дважды дифференцируемый скалярная функция ж(т,Икс) двух вещественных переменных т и Икс, надо

Отсюда сразу следует, что ж(т,Икст) сам по себе является дрейфово-диффузионным процессом Ито.

В более высоких измерениях, если вектор процессов Ито такой, что

для вектора и матрица , Лемма Ито утверждает, что

куда Икс ж это градиент из ж w.r.t. Икс, ЧАСИкс ж это Матрица Гессе из ж w.r.t. Икс, и Тр - оператор трассировки.

Пуассоновские скачковые процессы

Мы также можем определять функции на разрывных случайных процессах.

Позволять час быть интенсивностью прыжка. В Пуассоновский процесс модель для скачков состоит в том, что вероятность одного скачка в интервале [т, т + Δт] является часΔт плюс условия более высокого порядка. час может быть константой, детерминированной функцией времени или случайным процессом. Вероятность выживания пs(т) вероятность того, что скачка не произошло в интервале [0, т]. Изменение вероятности выживания равно

Так

Позволять S(т) - прерывный случайный процесс. Написать для стоимости S как мы приближаемся т слева. Написать для не бесконечно малого изменения в S(т) в результате прыжка. потом

Позволять z - величина скачка и пусть быть распределение из z. Ожидаемая величина скачка составляет

Определять , а компенсируемый процесс и мартингейл, так как

потом

Рассмотрим функцию процесса прыжка dS(т). Если S(т) прыгает мимо Δs тогда грамм(т) прыгает мимо Δграмм. Δграмм взят из распределения что может зависеть от , dg и . Прыжковая часть является

Если содержит части сноса, диффузии и скачка, то лемма Ито для является

Лемма Ито для процесса, который является суммой процесса дрейфа-диффузии и процесса скачка, представляет собой просто сумму леммы Ито для отдельных частей.

Непрерывные семимартингалы

Лемму Ито можно применить и к общим d-размерный семимартингалы, которые не обязательно должны быть непрерывными. В общем, семимартингал - это càdlàg процесса, и в формулу необходимо добавить дополнительный член, чтобы гарантировать, что скачки процесса правильно задаются леммой Ито. Для любого процесса кадлага. Yт, левый предел в т обозначается Yt−, который является непрерывным слева процессом. Скачки записываются как ΔYт = YтYt−. Тогда лемма Ито утверждает, что если Икс = (Икс1, Икс2, ..., Иксd) это d-мерный семимартингал и ж - дважды непрерывно дифференцируемая вещественнозначная функция на рd тогда ж(Икс) - семимартингал, а

Это отличается от формулы для непрерывных полумартингалов дополнительным членом, суммирующим по скачкам Икс, что обеспечивает переход правой части в момент времени т есть Δж(Икст).

Множественные прерывистые скачковые процессы

[нужна цитата ]Существует также версия этого для дважды непрерывно дифференцируемой в пространстве один раз во времени функции f, вычисленной в (потенциально разных) прерывистых полумартингалах, которую можно записать следующим образом:

куда обозначает непрерывную часть яый полумартингейл.

Примеры

Геометрическое броуновское движение

Говорят, что процесс S следует геометрическое броуновское движение с постоянной волатильностью σ и постоянный дрейф μ если он удовлетворяет стохастическое дифференциальное уравнение dS = S(σдБ + μdt), для броуновского движения B. Применяя лемму Ито с ж(S) = журнал (S) дает

Следует, что

возведение в степень дает выражение для S,

Срок коррекции σ2/2 соответствует разнице между медианой и средним значением логнормальное распределение или, что эквивалентно для этого распределения, среднее геометрическое и среднее арифметическое, при этом медиана (среднее геометрическое) будет ниже. Это связано с AM – GM неравенство, и соответствует выпуклому вниз логарифму, поэтому поправочный член можно соответственно интерпретировать как коррекция выпуклости. Это бесконечно малая версия того факта, что годовая доходность меньше средней доходности, при этом разница пропорциональна дисперсии. Видеть геометрические моменты логнормального распределения для дальнейшего обсуждения.

Тот же фактор σ2/2 появляется в d1 и d2 вспомогательные переменные Формула Блэка – Шоулза, и может быть интерпретированный как следствие леммы Ито.

Показательная величина Далеана-Даде

В Показательная величина Далеана-Даде (или стохастическая экспонента) непрерывного семимартингала Икс можно определить как решение СДУ dY = Y dX с начальным условием Y0 = 1. Иногда его обозначают как Ɛ (Икс)Применяя лемму Ито с ж(Y) = журнал (Y) дает

Возведение в степень дает решение

Формула Блэка – Шоулза

Лемма Ито может быть использована для вывода Уравнение Блэка – Шоулза для вариант.[1] Предположим, что цена акции следует за геометрическое броуновское движение задается стохастическим дифференциальным уравнением dS = S(σдБ + μ dt). Тогда, если стоимость опциона во время т является ж(т, Sт) Лемма Ито дает

Период, термин ж/S dS представляет изменение стоимости во времени dt торговой стратегии, состоящей из удержания суммы ж/S на складе. Если следовать этой торговой стратегии и предполагается, что любые имеющиеся денежные средства будут расти безрисковыми темпами р, то итоговое значение V этого портфеля удовлетворяет SDE

Эта стратегия повторяет вариант, если V = ж(т,S). Объединение этих уравнений дает знаменитое уравнение Блэка – Шоулза

Правило продукта для процессов Itô

Позволять быть двумерным процессом Ито с SDE:

Тогда мы можем использовать многомерную форму леммы Ито, чтобы найти выражение для .

У нас есть и .

Мы установили и обратите внимание, что и

Подстановка этих значений в многомерную версию леммы дает нам:

Это обобщение теории Лейбница. правило продукта в процессы Ито, которые недифференцируемы.

Далее, использование второй формы многомерной версии выше дает нам

Итак, мы видим, что продукт сам по себе Ито дрейфово-диффузионный процесс.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Маллиарис, А. Г. (1982). Стохастические методы в экономике и финансах. Нью-Йорк: Северная Голландия. С. 220–223. ISBN  0-444-86201-3.

Рекомендации

  • Киёси Ито (1944). Стохастический интеграл. Proc. Императорский акад. Токио 20, 519–524. Это статья с формулой Ито; В сети
  • Киёси Ито (1951). О стохастических дифференциальных уравнениях. Мемуары, Американское математическое общество 4, 1–51. В сети
  • Бернт Эксендал (2000). Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в приложения, Издание 5-е, исправленное 2-е издание. Springer. ISBN  3-540-63720-6. Разделы 4.1 и 4.2.
  • Филип Э. Проттер (2005). Стохастическое интегрирование и дифференциальные уравнения, 2-е изд. Springer. ISBN  3-662-10061-4. Раздел 2.7.

внешняя ссылка