Геометрия Клейна - Википедия - Klein geometry

В математика, а Геометрия Клейна это тип геометрия мотивировано Феликс Кляйн в его влиятельных Программа Эрланген. В частности, это однородное пространство Икс вместе с переходное действие на Икс по Группа Ли грамм, который действует как группа симметрии геометрии.

Историю и мотивацию см. В статье о Программа Эрланген.

Формальное определение

А Геометрия Клейна пара (грамм, ЧАС) куда грамм это Группа Ли и ЧАС это закрыто Подгруппа Ли из грамм так что (слева) пространство смежности грамм/ЧАС является связаны. Группа грамм называется основная группа геометрии и грамм/ЧАС называется Космос геометрии (или, злоупотребляя терминологией, просто Геометрия Клейна). Космос Икс = грамм/ЧАС геометрии Клейна является гладкое многообразие измерения

тусклый Икс = тусклый грамм - тусклый ЧАС.

Есть естественный гладкий левое действие из грамм на Икс данный

Ясно, что это действие транзитивно (возьмем а = 1), так что можно тогда рассматривать Икс как однородное пространство за действие грамм. В стабилизатор тождественного смежного класса ЧАСИкс это в точности группа ЧАС.

Для любого связного гладкого многообразия Икс и гладкое транзитивное действие группы Ли грамм на Икс, мы можем построить ассоциированную геометрию Клейна (грамм, ЧАС) путем фиксации базовой точки Икс0 в Икс и позволяя ЧАС - стабилизирующая подгруппа группы Икс0 в грамм. Группа ЧАС обязательно замкнутая подгруппа в грамм и Икс естественно диффеоморфный к грамм/ЧАС.

Две геометрии Клейна (грамм1, ЧАС1) и (грамм2, ЧАС2) находятся геометрически изоморфный если есть Изоморфизм групп Ли φ : грамм1грамм2 так что φ(ЧАС1) = ЧАС2. В частности, если φ является спряжение элементом граммграмм, Мы видим, что (грамм, ЧАС) и (грамм, gHg−1) изоморфны. Геометрия Клейна, связанная с однородным пространством Икс тогда единственно с точностью до изоморфизма (т.е. не зависит от выбранной базовой точки Икс0).

Описание пакета

Учитывая группу Ли грамм и замкнутая подгруппа ЧАС, есть естественный правильное действие из ЧАС на грамм дано правым умножением. Это действие одновременно бесплатное и правильный. В орбиты просто левые смежные классы из ЧАС в грамм. Можно сделать вывод, что грамм имеет структуру гладкой главный ЧАС-пучок над левым пространством смежных классов грамм/ЧАС:

Типы геометрии Клейна

Эффективная геометрия

Действие грамм на Икс = грамм/ЧАС не обязательно быть эффективным. В ядро геометрии Клейна определяется как ядро ​​действия грамм на Икс. Это дается

Ядро K можно также описать как основной из ЧАС в грамм (т.е. самая большая подгруппа ЧАС то есть нормальный в грамм). Это группа, порожденная всеми нормальными подгруппами грамм это лежит в ЧАС.

Геометрия Клейна называется эффективный если K = 1 и местный эффективный если K является дискретный. Если (грамм, ЧАС) - геометрия Клейна с ядром K, тогда (грамм/K, ЧАС/K) является эффективной геометрией Клейна, канонически связанной с (грамм, ЧАС).

Геометрически ориентированная геометрия

Геометрия Клейна (грамм, ЧАС) является геометрически ориентированный если грамм является связаны. (Это делает нет подразумевают, что грамм/ЧАС является ориентированное многообразие ). Если ЧАС связано, следует, что грамм также связан (это потому, что грамм/ЧАС предполагается связным, и граммграмм/ЧАС это расслоение ).

Учитывая любую геометрию Клейна (грамм, ЧАС), существует геометрически ориентированная геометрия, канонически связанная с (грамм, ЧАС) с таким же базовым пространством грамм/ЧАС. Это геометрия (грамм0, грамм0ЧАС) куда грамм0 это компонент идентичности из грамм. Обратите внимание, что грамм = грамм0 ЧАС.

Восстановительные геометрии

Геометрия Клейна (грамм, ЧАС) как говорят редуктивный и грамм/ЧАС а редуктивное однородное пространство если Алгебра Ли из ЧАС имеет ЧАС-инвариантное дополнение в .

Примеры

В следующей таблице представлено описание классических геометрий, смоделированных как геометрии Клейна.

Основное пространствоГруппа трансформации граммПодгруппа ЧАСИнварианты
Проективная геометрияРеальное проективное пространство Проективная группа Подгруппа починка флаг Проективные линии, перекрестное соотношение
Конформная геометрия на сфереСфера Группа Лоренца из -мерное пространство Подгруппа починка линия в нулевой конус метрики МинковскогоОбобщенные круги, углы
Гиперболическая геометрияГиперболическое пространство , смоделированный, например как линии времени в Пространство Минковского Ортохронная группа Лоренца Линии, круги, расстояния, углы
Эллиптическая геометрияЭллиптическое пространство, смоделированное, например, как линии, проходящие через начало координат в Евклидово пространство Линии, круги, расстояния, углы
Сферическая геометрияСфера Ортогональная группа Ортогональная группа Линии (большие круги), круги, расстояния между точками, углы
Аффинная геометрияАффинное пространство Аффинная группа Общая линейная группа Линии, отношение площадей геометрических фигур, центр массы из треугольники
Евклидова геометрияЕвклидово пространство Евклидова группа Ортогональная группа Расстояния точки, углы из векторов, районы

Рекомендации

  • Р. В. Шарп (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение Эрлангенской программы Клейна. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94732-9.