Проблема замыкания-дополнения Куратовского - Википедия - Kuratowskis closure-complement problem

В точечная топология, Проблема Куратовского о замыкании-дополнении запрашивает наибольшее количество различных наборов, которые можно получить, многократно применяя операции над наборами закрытие и дополнять к заданному начальному подмножеству топологическое пространство. Ответ - 14. Этот результат был впервые опубликован Казимеж Куратовски в 1922 г.[1] Проблема получила широкое распространение три десятилетия спустя в качестве упражнения в Джон Л. Келли классический учебник Общая топология.[2]

Доказательство

Сдача S обозначим произвольное подмножество топологического пространства, запишем kS для закрытия S, и cS для дополнения S. Следующие три идентичности подразумевают, что можно получить не более 14 различных наборов:

(1) kkS = kS. (Операция закрытия идемпотент.)

(2) ccS = S. (Операция дополнения - это инволюция.)

(3) kckckckcS = kckcS. (Или эквивалентно kckckckS = kckckckccS = kckS. Используя тождество (2).)

Первые два тривиальны. Третье следует из тождества kikiS = КИС куда является это интерьер из S что равно дополнению замыкания дополнения S, является = ckcS. (Операция ки = kckc идемпотентно.)

Подмножество, реализующее максимум 14, называется 14 комплектов. Пространство действительные числа при обычной топологии содержит 14-множеств. Вот один пример:

куда обозначает открытый интервал и обозначает закрытый интервал.

Дальнейшие результаты

Несмотря на свое происхождение в контексте топологического пространства, проблема замыкания-дополнения Куратовского на самом деле более сложна. алгебраический чем топологический. С 1960 г. появилось удивительное обилие тесно связанных проблем и результатов, многие из которых имеют мало или не имеют ничего общего с топологией точек.[3]

Операции замыкания-дополнения дают моноид которые можно использовать для классификации топологических пространств.[4]

Рекомендации

  1. ^ Куратовски, Казимеж (1922). "Sur l'operation A de l'Analysis Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Варшава: Польская академия наук. 3: 182–199. ISSN  0016-2736.
  2. ^ Келли, Джон (1955). Общая топология. Ван Ностранд. п. 57. ISBN  0-387-90125-6.
  3. ^ Хаммер, П. К. (1960). «Теорема Куратовского о замыкании». Nieuw Archief voor Wiskunde. Королевское голландское математическое общество. 8: 74–80. ISSN  0028-9825.
  4. ^ Швиберт, Райан. «Радикал-аннигиляторный моноид кольца». arXiv:1803.00516. Дои:10.1080/00927872.2016.1222401. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)

внешняя ссылка