Теорема Лагранжа (теория чисел) - Википедия - Lagranges theorem (number theory)

В теория чисел, Теорема Лагранжа заявление, названное в честь Жозеф-Луи Лагранж о том, как часто многочлен над целые числа может быть кратным фиксированному основной. Точнее, в нем говорится, что если п простое число и ${ displaystyle textstyle f (x) in mathbb {Z} [x]}$ является многочленом с целыми коэффициентами, то либо:

каждый коэффициент $ж (Икс)$ делится на п, или же
$ж (Икс) \equiv 0 (мод. п)$ имеет самое большее $град ж (Икс)$ несовместимые решения

куда $град ж (Икс)$ это степень из $ж (Икс)$ . Решения считаются «неконгруэнтными», если они не различаются на кратное п. Если модуль не является простым, то может быть больше, чем $град ж (Икс)$ решения.

Доказательство теоремы Лагранжа

Две ключевые идеи заключаются в следующем. Позволять $грамм (Икс) \in (Z / п)[Икс]$ - многочлен, полученный из $ж (Икс)$ взяв коэффициенты $мод п$ . Сейчас же:

$ж (k)$ делится на $п$ если и только если $грамм (k) = 0$ ; и
$грамм (Икс)$ имеет не более чем $град грамм (Икс)$ корни.

Более строго, начните с того, что $грамм (Икс) = 0$ тогда и только тогда, когда каждый коэффициент $ж (Икс)$ делится на $п$ . Предполагать $грамм (Икс) \neq 0$ ; его степень, таким образом, хорошо определена. Легко увидеть $град грамм (Икс) \leq град ж (Икс)$ . Чтобы доказать (1), сначала отметим, что мы можем вычислить $грамм (k)$ либо напрямую, то есть путем подключения ( класс остатка из) $k$ и выполнение арифметики в $Z / п$ , или уменьшив $ж (k) мод п$ . Следовательно $грамм (k) = 0$ если и только если $ж (k) \equiv 0 (мод. п)$ , т.е. тогда и только тогда, когда $ж (k)$ делится на $п$ . Для доказательства (2) заметим, что $Z / п$ это поле, что является стандартным фактом (быстрое доказательство заключается в том, что, поскольку $п$ простое, $Z / п$ конечный область целостности, значит, поле). Другой стандартный факт состоит в том, что ненулевой многочлен над полем имеет не более чем столько же корней, сколько его степень; это следует из алгоритм деления.

Наконец, обратите внимание, что два решения $ж (k 1) \equiv ж (k 2) \equiv 0 (мод. п)$ неконгруэнтны тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle к_ {1} not Equiv k_ {2}}$ $(мод п)$ . Собирая все вместе, количество инконгруэнтных решений по (1) равно количеству корней $грамм (Икс)$ , которая согласно (2) не превосходит $град грамм (Икс)$ , что не более $град ж (Икс)$ .

Теорема Лагранжа (теория чисел) - Википедия - Lagranges theorem (number theory)

Доказательство теоремы Лагранжа

Рекомендации