Функция Лиувилля - Википедия - Liouville function

В Лямбда-функция Лиувилля, обозначаемый λ (п) и назван в честь Джозеф Лиувиль, это важный арифметическая функция.

Его значение +1, если п является продуктом четного числа простые числа, и −1, если это произведение нечетного числа простых чисел.

В явном виде основная теорема арифметики заявляет, что любые положительные целое число п можно однозначно представить как произведение степеней простых чисел: куда п1 < п2 < ... < пk простые числа и аj положительные целые числа. (1 задается пустым произведением.) основные функции омега подсчитайте количество простых чисел с кратностью (Ω) или без (ω):

ω(п) = k,
Ω (п) = а1 + а2 + ... + аk.

λ (п) определяется формулой

(последовательность A008836 в OEIS ).

λ - это полностью мультипликативный поскольку Ω (п) полностью добавка, то есть: Ω (ab) = Ω (а) + Ω (б). Поскольку 1 не имеет простых делителей, Ω (1) = 0, поэтому λ (1) = 1.

Это связано с Функция Мёбиуса μ(п). Написать п в качестве п = а2б куда б является свободный от квадратов, т.е. ω(б) = Ω (б). потом

Сумма функции Лиувилля по делители из п это характеристическая функция из квадраты:

Инверсия Мёбиуса этой формулы дает

В Обратный Дирихле функции Лиувилля - модуль функции Мёбиуса, характеристическая функция бесквадратных целых чисел. У нас также есть это .

Серии

В Серия Дирихле для функции Лиувилля связана с Дзета-функция Римана к

В Серия Ламберта для функции Лиувилля есть

куда это Тета-функция Якоби.

Гипотезы о взвешенных сумматорных функциях

Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 104. Легко заметные колебания связаны с первым нетривиальным нулем дзета-функции Римана.
Сумматорная функция Лиувилля L(п) вплоть до п = 107. Обратите внимание на очевидное масштабная инвариантность колебаний.
Логарифмический график негатива сумматорной функции Лиувилля L(п) вплоть до п = 2 × 109. Зеленый пик показывает саму функцию (а не ее отрицательный результат) в узкой области, где Гипотеза Поли терпит неудачу; синяя кривая показывает колебательный вклад первого нуля Римана.
Гармоническая суммирующая функция Лиувилля Т(п) вплоть до п = 103

В Гипотеза Поли это гипотеза, сделанная Георгий Полиа в 1919 г. Определяя

(последовательность A002819 в OEIS ),

гипотеза утверждает, что за п > 1. Это оказалось ложью. Самый маленький контрпример: п = 906150257, обнаружен Минору Танакой в ​​1980 году. С тех пор было показано, что L(п) > 0.0618672п для бесконечного множества натуральных чисел п,[1] в то время как его также можно показать с помощью тех же методов, что и L(п) < -1.3892783п для бесконечного множества натуральных чисел п.[2]

Для любого , принимая гипотезу Римана, имеем, что сумматорная функция ограничен

где - некоторая абсолютная предельная константа.[2]

Определите соответствующую сумму

Некоторое время было открыто, Т(п) ≥ 0 для достаточно больших пп0 (это предположение иногда - хотя и ошибочно - приписывают Пал Туран ). Затем это было опровергнуто Haselgrove (1958), кто показал это Т(п) принимает отрицательные значения бесконечно часто. Подтверждение этой гипотезы о положительности привело бы к доказательству Гипотеза Римана, как было показано Пал Туран.

Обобщения

В более общем смысле, мы можем рассматривать взвешенные сумматорные функции над функцией Лиовилля, определенные для любого следующим образом для положительных целых чисел Икс где (как и выше) у нас есть особые случаи и [2]

Эти -взвешенные сумматорные функции связаны с Функция Мертенса, или взвешенные сумматорные функции Функция Мебиуса. Фактически, мы имеем так называемую невзвешенную или обычную функцию точно соответствует сумме

Более того, эти функции удовлетворяют аналогичным ограничивающим асимптотическим соотношениям.[2] Например, когда , мы видим, что существует абсолютная постоянная такой, что

По заявлению Формула Перрона, или эквивалентно ключом (инверсия) Преобразование Меллина у нас есть это

которые затем можно инвертировать с помощью обратное преобразование показать это для , и

где мы можем взять , а остальные члены определены так, что и в качестве .

В частности, если предположить, что Гипотеза Римана (RH) верно и что все нетривиальные нули, обозначенные , из Дзета-функция Римана находятся просто, то для любого и существует бесконечная последовательность что удовлетворяет для всех v такой, что

где для любых все более мелких мы определяем

и где остаток

что, конечно, имеет тенденцию 0 в качестве . Эти точные разложения аналитических формул снова обладают свойствами, аналогичными свойствам, соответствующим взвешенным формулам. Функция Мертенса случаи. Кроме того, поскольку у нас есть еще одно сходство в виде к поскольку доминирующий главный член в предыдущих формулах предсказывает отрицательное смещение значений этих функций по сравнению с положительными натуральными числами Икс.

Рекомендации

  1. ^ Borwein, P .; Ferguson, R .; Моссингхофф, М. Дж. (2008). «Знаковые изменения в суммах функции Лиувилля». Математика вычислений. 77 (263): 1681–1694. Дои:10.1090 / S0025-5718-08-02036-X.
  2. ^ а б c d Хамфрис, Питер (2013). «Распределение весовых сумм функции Лиувилля и гипотеза Полиа». Журнал теории чисел. 133 (2): 545–582. arXiv:1108.1524. Дои:10.1016 / j.jnt.2012.08.011.