Формула локальной характеристики Эйлера - Википедия - Local Euler characteristic formula

в математический поле Когомологии Галуа, то локальная характеристическая формула Эйлера это результат из-за Джон Тейт который вычисляет Эйлерова характеристика из групповые когомологии из абсолютная группа Галуа граммK из неархимедово локальное поле K.

Заявление

Позволять K - неархимедово локальное поле, пусть Ks обозначить отделяемое закрытие из K, позволять граммK = Гал (Ks/K) - абсолютная группа Галуа K, и разреши ЧАСя(KM) обозначают групповые когомологии граммK с коэффициентами в M. Поскольку когомологическая размерность из граммK два,[1] ЧАСя(KM) = 0 для я ≥ 3. Следовательно, в эйлерову характеристику входят только группы с я = 0, 1, 2.

Случай конечных модулей

Позволять M быть граммK-модуль конечных порядок м. Эйлерова характеристика M определяется как[2]

яth группы когомологий для я ≥ 3 отображаются неявно, поскольку все их размеры равны).

Позволять р обозначить кольцо целых чисел из K. Затем результат Тэйта утверждает, что если м является относительно простой к характеристика из K, тогда[3]

т.е. обратный порядку кольцо частного р/Мистер.

Следует выделить два особых случая. Если порядок M относительно проста с характеристикой поле вычетов из K, то эйлерова характеристика равна единице. Если K это конечное расширение из п-адические числа Qп, и если vп обозначает п-адическая оценка, тогда

куда [K:Qп] это степень из K над Qп.

Эйлерову характеристику можно переписать, используя местная двойственность Тейт, так как

куда M это местная галерея Тейт двойная из M.

Примечания

  1. ^ Серр 2002, §II.4.3
  2. ^ Эйлерова характеристика в теории когомологий обычно записывается как знакопеременный сумма размеров групп когомологий. В этом случае чередующиеся товар более стандартен.
  3. ^ Милн 2006, Теорема I.2.8

Рекомендации

  • Милн, Джеймс С. (2006), Арифметические теоремы двойственности (второе изд.), Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-X, МИСТЕР  2261462, получено 2010-03-27
  • Серр, Жан-Пьер (2002), Когомологии Галуа, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, МИСТЕР  1867431, перевод Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).