В математика, то Неравенство Лумиса – Уитни это результат геометрия, что в простейшем виде позволяет оценить «размер»
-размерный устанавливается по размерам
-мерные проекции. Неравенство имеет приложения в геометрия падения, изучение так называемых «решетчатых животных» и другие направления.
Результат назван в честь Американец математики Линн Гарольд Лумис и Хасслер Уитни, и был опубликован в 1949 году.
Формулировка неравенства
Исправить размер
и рассмотрим прогнозы
![pi _ {{j}}: {mathbb {R}} ^ {{d}} o {mathbb {R}} ^ {{d-1}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7da432bce3834785cf5341a28eb512ca6d911a8)
![pi _ {{j}}: x = (x _ {{1}}, точки, x _ {{d}}) mapsto {hat {x}} _ {{j}} = (x _ {{1}}, точки , x _ {{j-1}}, x _ {{j + 1}}, точки, x _ {{d}}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20421c1304633b9c5f506e563bbdda33872385fc)
Для каждого 1 ≤ j ≤ d, позволять
![g _ {{j}}: {mathbb {R}} ^ {{d-1}} o [0, + infty),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b28700bba6dd2fb76777307fa90ad6fd419ff1)
![g _ {{j}} в L ^ {{d-1}} ({mathbb {R}} ^ {{d-1}}).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ef2fe8bc54c7a78babdb6125dac2e84b28b71ea)
Тогда Неравенство Лумиса – Уитни держит:
![int _ {{{mathbb {R}} ^ {{d}}}} prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} g _ {{j}} (pi _ {{j}} (x) ), {mathrm {d}} xleq prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} | g _ {{j}} | _ {{L ^ {{d-1}} ({mathbb {R} } ^ {{d-1}})}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f135ddc553b805db899992782e029650c0a4fc25)
Эквивалентно, принимая
![f _ {{j}} (x) = g _ {{j}} (x) ^ {{d-1}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf79c41221c4fdf12b7a8749414b23b4716bc288)
![int _ {{{mathbb {R}} ^ {{d}}}} prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} f _ {{j}} (pi _ {{j}} (x) ) ^ {{1 / (d-1)}}, {mathrm {d}} xleq prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} left (int _ {{{mathbb {R}} ^ { {d-1}}}} f _ {{j}} ({hat {x}} _ {{j}}), {mathrm {d}} {hat {x}} _ {{j}} ight) ^ {{1 / (d-1)}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cdc509a0ffeeda05bd6bd078d14780a5e1df36c)
Особый случай
Неравенство Лумиса – Уитни можно использовать, чтобы связать Мера Лебега подмножества Евклидово пространство
его «средней ширине» в координатных направлениях. Позволять E быть некоторыми измеримое подмножество из
и разреши
![f _ {{j}} = {mathbf {1}} _ {{pi _ {{j}} (E)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d521e51f1e5594067ba58be33526f4b257a3e068)
быть индикаторная функция проекции E на j-я координатная гиперплоскость. Отсюда следует, что для любой точки Икс в E,
![prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} f _ {{j}} (pi _ {{j}} (x)) ^ {{1 / (d-1)}} = 1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4fd59edf37ad0a2a3ff5851546621023bc270f)
Следовательно, по неравенству Лумиса – Уитни
![| E | leq prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} | pi _ {{j}} (E) | ^ {{1 / (d-1)}},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef743ed76bdba919ad432ddb3fe3d6292c531192)
и поэтому
![| E | geq prod _ {{j = 1}} ^ {{d}} {frac {| E |} {| pi _ {{j}} (E) |}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f60a6a655786d833065d75a47b49125aa868a9d)
Количество
![{frac {| E |} {| pi _ {{j}} (E) |}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f34b73fcb0745c1d9f9b790d131386b42b36a9)
можно рассматривать как среднюю ширину
в
-ое координатное направление. Эта интерпретация неравенства Лумиса – Уитни также верна, если мы рассматриваем конечное подмножество евклидова пространства и заменяем меру Лебега на счетная мера.
Обобщения
Неравенство Лумиса – Уитни является частным случаем Неравенство Браскампа – Либа, в котором проекции πj выше заменены более общими линейные карты, не обязательно все отображения на пространства одной размерности.
Рекомендации