Энергия Мебиуса - Möbius energy

В математика, то Энергия Мёбиуса из морской узел особый узловая энергия, т.е. функциональный на пространстве узлов. Это было обнаружено Джун О'Хара, который продемонстрировал, что энергия взрывается, когда пряди узла приближаются друг к другу. Это полезное свойство, поскольку оно предотвращает самопересечение и обеспечивает результат при градиентный спуск из того же тип узла.

Инвариантность энергии Мёбиуса относительно Преобразования Мебиуса был продемонстрирован Майкл Фридман, Zheng-Xu He и Zhenghan Wang (1994), которые использовали его, чтобы показать существование минимизатор энергии в каждом изотопическом классе главный узел. Они также показали, что минимальная энергия любого узла достигается за счет круглого круга.

Предположительно, для составных узлов не существует минимизатора энергии. Роберт Б. Куснер и Джон М. Салливан провели компьютерные эксперименты с дискретизированной версией энергии Мёбиуса и пришли к выводу, что не должно быть минимизатора энергии для узловая сумма из двух трилистников (хотя это не доказательство).

Напомним, что преобразования Мёбиуса 3-сферы являются десятимерной группой сохраняющих угол диффеоморфизмов, порожденной инверсией в 2-сферах. Например, инверсия в сфере определяется

Рассмотрим спрямляемую простую кривую в трехмерном евклидовом пространстве , куда принадлежит или же . Определите его энергию

куда это кратчайшее расстояние дуги между и на кривой. Второй член подынтегрального выражения называется регуляризацией. Легко заметить, что не зависит от параметризации и не изменяется, если заменяется подобием . Причем энергия любой линии равна 0, энергия любого круга равна . Фактически, воспользуемся параметризацией длины дуги. Обозначим через длина кривой . потом

Позволять обозначают единичный круг. У нас есть

и следовательно,

поскольку .

Узел инвариантный

Слева - узелок и эквивалентный ему узел. Может быть сложнее определить, эквивалентны ли сложные узлы, такие как тот, что справа, безузловому.

Узел создается, начиная с одно-размерный отрезок линии, произвольно оборачивая его вокруг себя, а затем соединяя два его свободных конца вместе, чтобы сформировать замкнутый цикл (Адамс 2004, Сосинский 2002 ). Математически мы можем сказать узел является инъективный и непрерывная функция с . Топологи рассматривают узлы и другие зацепления, такие как ссылки и косы быть эквивалентным, если узел можно плавно толкать, не пересекаясь с самим собой, чтобы он совпал с другим узлом. Идея узловая эквивалентность заключается в том, чтобы дать точное определение того, когда два узла следует рассматривать как одно и то же, даже если они расположены в пространстве по-разному. Математическое определение состоит в том, что два узла эквивалентны, если есть сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с , а это, как известно, эквивалентно существованию окружающая изотопия.

Основная проблема теории узлов - проблема распознавания, определяет эквивалентность двух узлов. Алгоритмы существуют для решения этой проблемы, с первым из Вольфганг Хакен в конце 1960-х (Хасс 1998 ). Тем не менее, эти алгоритмы могут занимать очень много времени, и основная проблема теории состоит в том, чтобы понять, насколько сложна эта проблема на самом деле (Хасс 1998 ). Частный случай распознавания развязанный, называется проблема распутывания, представляет особый интерес (Хост 2005 Узел будем изображать не многоугольником, а гладкой кривой. Узел будет представлен плоской схемой. Особенности плоской диаграммы будем называть точками пересечения и областями, на которые она подразделяет плоские области диаграммы. В каждой точке пересечения два из четырех углов будут отмечены точками, чтобы указать, какое ответвление, проходящее через точку пересечения, следует рассматривать как одно, проходящее под другим. Мы нумеруем любую область наугад, но фиксируем номера всех оставшихся областей так, чтобы всякий раз, когда мы пересекаем кривую справа налево, мы должны были перейти от номера области на номер региона . Понятно, что в любом пункте пересечения , есть два противоположных угла с одинаковым номером и два противоположных угла цифр и , соответственно. Номер называется индексом . Точки пересечения бывают двух типов: правые и левые, в зависимости от того, какая ветвь через точку проходит под другой или за другой. В любой точке пересечения индекса два пунктирных угла - цифры и соответственно две незакрашенные цифры и . Индекс любого угла любого региона индекса является одним из элементов . Мы хотим отличать один тип узлов от другого с помощью инвариантов узлов. Есть один довольно простой инвариант. это Полином александра с целым коэффициентом. Многочлен Александера симметричен со степенью : для всех узлов из точки пересечения. Например, инвариант безузловой кривой - 1, трилистника - .

Позволять

обозначим стандартный элемент поверхности .

У нас есть

Для узла , ,

не меняется, если поменять узел в своем классе эквивалентности.

Свойство инвариантности Мёбиуса

Позволять быть замкнутой кривой в и преобразование Мёбиуса . Если содержится в тогда . Если проходит через тогда .

Теорема А. Среди всех выпрямляемых шлейфов , у круглых кругов меньше всего энергии и любой наименьшей энергии параметризует круглый круг.

Доказательство теоремы А. Позволять преобразование Мёбиуса, посылающее точку до бесконечности. Энергия с равенством тогда и только тогда прямая линия. Применив свойство инвариантности Мёбиуса, мы завершим доказательство.

Доказательство мебиусовской инвариантности. Достаточно рассмотреть, как , инверсия в сфере, преобразует энергию. Позволять быть параметром длины дуги спрямляемой замкнутой кривой , . Позволять

и

Четко, и . Это короткое вычисление (с использованием закона косинусов) для правильного преобразования первого члена, т. Е.

С длина дуги для , член регуляризации (1) является элементарным интегралом

Позволять быть параметром длины дуги для .Потом куда обозначает коэффициент линейного расширения . С является функцией Липшица и гладкая, липшицево, следовательно, имеет слабую производную .

куда и

и

С равномерно ограничен, имеем

По аналогии,

Тогда по (4)

Сравнивая (3) и (5), получаемследовательно, .

Для второго утверждения пусть отправить точку до бесконечности. В этом случае и, таким образом, постоянный член 4 в (5) исчезает.

Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга

В Гипотеза Фридмана – Хе – Ванга (1994) заявили, что энергия Мёбиуса нетривиальной ссылки в сводится к минимуму стереографическая проекция стандарта Ссылка Хопфа. Это было доказано в 2012 г. Ян Агол, Фернандо К. Маркес и Андре Невес, используя Теория мин-макс Альмгрена – Питтса (Agol, Marques & Neves 2012 ). Позволять , - зацепление из двух компонент, т.е. пара спрямляемых замкнутых кривых в трехмерном евклидовом пространстве с . Энергия креста Мёбиуса связи определяется как

Связующее число определяется, позволяя

Ссылочный номер -2.svgСсылочный номер -1.svgСсылочный номер 0.svg
связующее число −2связующее число -1номер ссылки 0
Ссылка Number 1.svgСсылка Number 2.svgСсылка Number 3.svg
ссылка номер 1ссылка номер 2ссылка номер 3

Нетрудно проверить, что . Если две окружности расположены очень далеко друг от друга, поперечная энергия может быть сделана сколь угодно малой. Если ссылочный номер не равно нулю, ссылка называется неразделенной, а для неразделенной ссылки . Итак, нас интересует минимальная энергия нерасщепленных звеньев. Обратите внимание, что определение энергии распространяется на любое двухкомпонентное звено в . Энергия Мёбиуса обладает замечательным свойством быть инвариантной относительно конформных преобразований . Это свойство объясняется следующим образом. Позволять обозначают конформное отображение. потом Это условие называется свойством конформной инвариантности энергии креста Мёбиуса.

Основная теорема. Позволять , быть неразделенной ссылкой на 2 компонента. потом . Более того, если то существует конформное отображение такой, что и (стандартная ссылка Хопфа до ориентации и повторной параметризации).

Для двух непересекающихся дифференцируемых кривых определить Гаусс карта от тор к сфера к

Карта Гаусса связи в , обозначаемый , является липшицевым отображением определяетсяОбозначим открытый шар в , с центром в с радиусом , к . Граница этого шара обозначается через . Внутренний открытый шар , с центром в с радиусом , обозначается .У нас есть

Таким образом,

Отсюда следует, что почти для каждого , Если равенство выполняется при , тогда

Если ссылка содержится в ориентированной аффинной гиперплоскости с единичным вектором нормали совместим с ориентацией, то

Рекомендации

  • Адамс, Колин (2004), Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов, Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3678-1
  • Агол, Ян; Marques, Fernando C .; Невес, Андре (2012). «Теория мин-макс и энергия ссылок». arXiv:1205.0825 [math.GT ].CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Фридман, Майкл Х.; Он, Чжэн-Сюй; Ван, Чжэнхань (1994), "Энергия Мебиуса узлов и неузлов", Анналы математики, Вторая серия, 139 (1): 1–50, Дои:10.2307/2946626, МИСТЕР  1259363.
  • Хасс, Джоэл (1998), «Алгоритмы распознавания узлов и 3-многообразий», Хаос, солитоны и фракталы, 9 (4–5): 569–581, arXiv:математика / 9712269, Bibcode:1998CSF ..... 9..569H, Дои:10.1016 / S0960-0779 (97) 00109-4.
  • Хост, Джим (2005), "Перечисление и классификация узлов и звеньев", Справочник по теории узлов (PDF), Амстердам: Эльзевир.
  • О'Хара, Джун (1991), «Энергия узла», Топология, 30 (2): 241–247, Дои:10.1016/0040-9383(91)90010-2, МИСТЕР  1098918.
  • Сосинский, Алексей (2002), Узлы, математика с изюминкой, Издательство Гарвардского университета, ISBN  978-0-674-00944-8.