Группа классов картографии - Википедия - Mapping class group

В математика, в подполе геометрическая топология, то группа классов отображения является важным алгебраическим инвариантом топологическое пространство. Вкратце, группа классов отображения - это некая дискретная группа соответствующие симметриям пространства.

Мотивация

Рассмотрим топологическое пространство, то есть пространство с некоторым понятием близости между точками в пространстве. Мы можем рассматривать множество гомеоморфизмы из пространства в себя, то есть непрерывный карты с непрерывным обратное: функции, которые непрерывно растягивают и деформируют пространство, не нарушая и не склеивая пространство. Этот набор гомеоморфизмов можно рассматривать как само пространство. Он образует группу по функциональному составу. Мы также можем определить топологию на этом новом пространстве гомеоморфизмов. В открытые наборы этого нового функционального пространства будет состоять из наборов функций, которые отображают компактный подмножества K на открытые подмножества U в качестве K и U диапазон во всем нашем исходном топологическом пространстве, дополненный их конечными перекрестки (которые должны быть открытыми по определению топологии) и произвольными союзы (опять же, который должен быть открыт). Это дает понятие непрерывности на пространстве функций, так что мы можем рассматривать непрерывную деформацию самих гомеоморфизмов: называемую гомотопии. Мы определяем группу классов отображений, беря гомотопические классы гомеоморфизмов и индуцируя структуру группы из функциональной композиционной групповой структуры, уже имеющейся в пространстве гомеоморфизмов.

Определение

Период, термин группа классов отображения имеет гибкое использование. Чаще всего он используется в контексте многообразие M. Группа классов отображения M интерпретируется как группа классы изотопии из автоморфизмы из M. Так что если M это топологическое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов гомеоморфизмы из M. Если M это гладкое многообразие группа классов отображений - это группа изотопических классов диффеоморфизмы из M. Когда группа автоморфизмов объекта Икс имеет естественный топология, группа классов отображений Икс определяется как , куда это компонент пути идентичности в . (Обратите внимание, что в компактно-открытой топологии компоненты пути и изотопические классы совпадают, т.е. два отображения ж и грамм находятся в одном компоненте пути если только они изотопны). Для топологических пространств это обычно компактно-открытая топология. в низкоразмерная топология литературе, группа классов отображения Икс обычно обозначают MCG (Икс), хотя его также часто называют , где вместо Aut подставляется соответствующая группа категория которому Икс принадлежит. Здесь обозначает 0-й гомотопическая группа пространства.

Так что в общем есть короткая точная последовательность групп:

Часто эта последовательность не расколоть.[1]

Если работаешь в гомотопическая категория, группа классов отображений Икс это группа гомотопические классы из гомотопические эквивалентности из Икс.

Есть много подгруппы групп классов отображений, которые часто изучаются. Если M ориентированное многообразие, были бы сохраняющими ориентацию автоморфизмами M и поэтому группа классов отображения M (как ориентированное многообразие) будет индексом два в группе классов отображений M (как неориентированное многообразие) при условии M допускает обращающий ориентацию автоморфизм. Точно так же подгруппа, которая действует как тождество на всех группы гомологии из M называется Группа Торелли из M.

Примеры

Сфера

В любой категории (гладкой, PL, топологической, гомотопической)[2]

соответствующие картам степень  ±1.

Тор

в гомотопическая категория

Это потому, что n-мерный тор является Пространство Эйленберга – Маклейна.

Для других категорий, если ,[3] один имеет следующие последовательности с точным разбиением:

в категория топологических пространств

в PL-категория

(⊕ представляет прямая сумма ).В гладкая категория

куда - конечные абелевы группы Кервера – Милнора группы гомотопические сферы и группа порядка 2.

Поверхности

Группы классов отображения поверхности были тщательно изучены и иногда называются модулярными группами Тейхмюллера (обратите внимание на частный случай выше), поскольку они действуют на Пространство Тейхмюллера а частное - это пространство модулей римановых поверхностей, гомеоморфных поверхности. Эти группы обладают чертами, сходными как с гиперболические группы и линейным группам более высокого ранга[нужна цитата ]. У них много приложений в Терстон теория геометрической трёхмерные многообразия (например, чтобы поверхностные пучки ). Элементы этой группы также были изучены сами по себе: важным результатом является Классификация Нильсена-Терстона теорема, а порождающее семейство группы задается формулой Ден скручивает которые в некотором смысле являются «простейшими» классами отображения. Каждая конечная группа является подгруппой группы классов отображений замкнутой ориентируемой поверхности;[4] на самом деле любую конечную группу можно реализовать как группу изометрий некоторого компактного Риманова поверхность (что сразу означает, что он внедряется в группу классов отображений базовой топологической поверхности).

Неориентируемые поверхности

Немного неориентируемый поверхности имеют группы классов отображений с простыми представлениями. Например, каждый гомеоморфизм реальная проективная плоскость изотопно тождеству:

Группа классов отображения Бутылка Клейна K является:

Четыре элемента - это личность, Ден твист на двусторонней кривой, которая не ограничивает Лента Мебиуса, то у-гомеоморфизм из Ликориш, и произведение твиста и y-гомеоморфизма. Это хорошее упражнение, чтобы показать, что квадрат твиста Дена изотопен тождеству.

Отметим также, что закрытые род три неориентируемых поверхности N3 (связная сумма трех проективных плоскостей) имеет:

Это потому, что поверхность N имеет уникальный класс односторонних кривых таких, что когда N разрезается по такой кривой C, получившаяся поверхность является тор с удаленным диском. Как неориентированная поверхность, ее группа классов отображений . (Лемма 2.1[5]).

3-манифольды

Группы классов отображений 3-многообразий также получили значительное исследование и тесно связаны с группами классов отображений 2-многообразий. Например, любая конечная группа может быть реализована как группа классов отображений (а также группа изометрий) компактного трехмерного гиперболического многообразия.[6]

Отображение групп классов пар

Учитывая пара пространств (Х, А) группа классов отображений пары - это изотопические классы автоморфизмов пары, где автоморфизм (Х, А) определяется как автоморфизм Икс что сохраняет А, т.е. ж: ИксИкс обратима и f (А) = А.

Группа симметрии узла и звеньев

Если KS3 это морской узел или связь, то группа симметрии узла (соотв. ссылка) определяется как группа классов отображения пары (S3, K). Группа симметрии гиперболический узел как известно двугранный или же циклический, причем каждая диэдральная и циклическая группа может быть реализована как группы симметрии узлов. Группа симметрии торический узел известен как второй порядок Z2.

Группа Торелли

Обратите внимание, что существует индуцированное действие группы классов отображений на гомологиякогомология ) пространства Икс. Это потому, что (ко) гомологии функториальны и Гомео0 действует тривиально (поскольку все элементы изотопны, следовательно, гомотопны единице, которая действует тривиально, а действие на (ко) гомологиях инвариантно относительно гомотопии). Ядром этого действия является Группа Торелли, названный в честь Теорема Торелли.

В случае ориентируемых поверхностей это действие на первых когомологиях ЧАС1(Σ) ≅ Z2грамм. Сохраняющие ориентацию отображения - это в точности те, которые тривиально действуют на верхних когомологиях ЧАС2(Σ) ≅ Z. ЧАС1(Σ) имеет симплектический структура, исходящая из чашка продукта; поскольку эти отображения являются автоморфизмами, а отображения сохраняют кубовое произведение, группа классов отображений действует как симплектические автоморфизмы, и действительно, все симплектические автоморфизмы реализуются, давая короткая точная последовательность:

Можно распространить это на

В симплектическая группа хорошо понимается. Следовательно, понимание алгебраической структуры группы классов отображений часто сводится к вопросам о группе Торелли.

Заметим, что для тора (род 1) отображение в симплектическую группу является изоморфизмом, а группа Торелли обращается в нуль.

Группа классов стабильного отображения

Можно заделать поверхность рода грамм и 1 граничный компонент в прикрепив на конце дополнительное отверстие (т. е. склеив и ), и, таким образом, автоморфизмы малой поверхности, фиксирующие границу, распространяются на большую поверхность. Принимая прямой предел этих групп и включений дает стабильная группа классов отображений, кольцо рациональных когомологий которого было предположено Дэвид Мамфорд (одна из гипотез, названная Гипотезы Мамфорда ). Целочисленное (а не только рациональное) кольцо когомологий было вычислено в 2002 г. Иб Мадсен и Майкл Вайс, доказывая гипотезу Мамфорда.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Морита, Шигеюки (1987). «Характеристические классы поверхностных расслоений». Inventiones Mathematicae. 90 (3): 551–577. Дои:10.1007 / bf01389178. МИСТЕР  0914849.
  2. ^ Эрл, Клиффорд Дж.; Eells, Джеймс (1967), "Группа диффеоморфизмов компактной римановой поверхности", Бюллетень Американского математического общества, 73: 557–559, Дои:10.1090 / S0002-9904-1967-11746-4, МИСТЕР  0212840
  3. ^ МИСТЕР0520490 (80f: 57014) Хэтчер, А. Э. Пространства согласованности, теория высших простых гомотопий и приложения. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, CA, 1976), Часть 1, стр. 3–21, Proc. Симпозиумы. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978. (Рецензент: Джеральд А. Андерсон) 57R52
  4. ^ Гринберг, Леон (1974), "Максимальные группы и сигнатуры", Разрывные группы и римановы поверхности (Proc. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1973), Анналы математических исследований, 79, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, стр. 207–226, МИСТЕР  0379835
  5. ^ Шарлеманн, Мартин (1982). «Комплекс кривых на неориентируемых поверхностях». Журнал Лондонского математического общества. Серия 2. 25 (1): 171–184.
  6. ^ С. Кодзима, Топология и ее приложения, Том 29, выпуск 3, август 1988 г., страницы 297–307

Группа классов стабильного отображения

внешняя ссылка