Неравенство Маркова дает оценку сверху для меры множества (обозначено красным), где
![f (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074)
превышает заданный уровень
![varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
. Граница сочетает в себе уровень
![varepsilon](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
со средним значением
![ж](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
.
В теория вероятности, Неравенство Маркова дает верхняя граница для вероятность который неотрицательный функция из случайная переменная больше или равно некоторому положительному постоянный. Назван в честь русского математика. Андрей Марков, хотя он появился ранее в работе Пафнутый Чебышев (Учитель Маркова), и многие источники, особенно в анализ, назовем его неравенством Чебышева (иногда называя его первым неравенством Чебышева, ссылаясь на Неравенство Чебышева как второе неравенство Чебышева) или Bienaymé неравенство.
Неравенство Маркова (и другие подобные неравенства) связывают вероятности с ожидания, и предоставляют (часто нечеткие, но все же полезные) границы для кумулятивная функция распределения случайной величины.
Заявление
Если Икс - неотрицательная случайная величина и а > 0, то вероятность того, что Икс по крайней мере а самое большее ожидание Икс деленное на а:[1]
![{ displaystyle operatorname {P} (X geq a) leq { frac { operatorname {E} (X)} {a}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd6bedf71baa9941ef8cc368072afab09e5ec9fb)
Позволять
(куда
); то мы можем переписать предыдущее неравенство как
![{ displaystyle operatorname {P} (X geq { tilde {a}} cdot operatorname {E} (X)) leq { frac {1} { tilde {a}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1786af7aa4d42a93bb9baaa10c334ecc710522e)
На языке теория меры, Неравенство Маркова утверждает, что если (Икс, Σ,μ) это измерить пространство,
это измеримый расширенный реальный -значная функция, и ε > 0, тогда
![{ displaystyle mu ( {x in X: | е (x) | geq varepsilon }) leq { frac {1} { varepsilon}} int _ {X} | f | , д му.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be4cd56721f85452ab28f177d4ca84df72695ce)
Это теоретико-мерное определение иногда называют Неравенство Чебышева.[2]
Расширенная версия для монотонно возрастающих функций
Если φ это монотонно возрастающий неотрицательная функция для неотрицательных вещественных чисел, Икс случайная величина, а ≥ 0, и φ(а) > 0, тогда
![{ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) leq { frac { operatorname {E} ( varphi (| X |))} { varphi (a)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9822706fe13955a37e0ba77dad481a07f95bbc04)
Непосредственное следствие с использованием более высоких моментов Икс поддерживается на значениях больше 0, является
![{ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) leq { frac { operatorname {E} (| X | ^ {n})} {a ^ {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa281c50ed6325dc52e9999f7e5e41bb1719f1a6)
Доказательства
Мы отделяем случай, когда пространство меры является вероятностным пространством, от более общего случая, потому что вероятностный случай более доступен для обычного читателя.
Интуитивно понятный
куда
больше 0 как r.v.
неотрицательно и
больше чем
потому что условное ожидание учитывает только значения, превышающие
который r.v.
может взять.
Следовательно, интуитивно
, что напрямую приводит к
.
Доказательство на языке теории вероятностей
Способ 1:Из определения ожидания:
![{ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {- infty} ^ { infty} xf (x) , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8626128bea418679583aad217ce8f1a828934e91)
Однако X - неотрицательная случайная величина, поэтому
![{ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {- infty} ^ { infty} xf (x) , dx = int _ {0} ^ { infty} xf (x) , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e802772586d1f1e7f0c799ea1da5b0024f83b2c)
Из этого мы можем вывести,
![{ displaystyle operatorname {E} (X) = int _ {0} ^ {a} xf (x) , dx + int _ {a} ^ { infty} xf (x) , dx geq int _ {a} ^ { infty} xf (x) , dx geq int _ {a} ^ { infty} af (x) , dx = a int _ {a} ^ { infty} f (x) , dx = a operatorname {Pr} (X geq a)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5c36886209d0ecbe85fc1de330c2e115727b67)
Отсюда, делясь на
позволяет нам увидеть, что
![{ Displaystyle Pr (Икс GEQ а) Leq OperatorName {E} (X) / а}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992c06a6b351a55fcaf215a6bbc1412f7ab6c62b)
Способ 2:На любое мероприятие
, позволять
быть индикаторной случайной величиной
, то есть,
если
происходит и
иначе.
Используя эти обозначения, мы имеем
если событие
происходит, и
если
. Тогда, учитывая
,
![{ displaystyle aI _ {(X geq a)} leq X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd3c3ba26a57d3d3bde61d89ba7417f5a3a43a5)
что станет ясно, если мы рассмотрим два возможных значения
. Если
, тогда
, и так
. В противном случае имеем
, для которого
и так
.
С
является монотонно возрастающей функцией, ожидание обеих сторон неравенства не может изменить ее. Следовательно,
![{ displaystyle operatorname {E} (aI _ {(X geq a)}) leq operatorname {E} (X).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33f581f8185de5b1e7eab67e033118a0441df53d)
Теперь, используя линейность ожиданий, левая часть этого неравенства совпадает с
![{ displaystyle a operatorname {E} (I _ {(X geq a)}) = a (1 cdot operatorname {P} (X geq a) +0 cdot operatorname {P} (X <a )) = a operatorname {P} (X geq a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e00c8fac5e3865f42247c71ee3ed679d0d5db693)
Таким образом, мы имеем
![{ Displaystyle а OperatorName {P} (X geq a) leq OperatorName {E} (X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf9b615742dcbbfb983608f8d0736f1c2a4af89)
и с тех пор а > 0, мы можем разделить обе части наа.
На языке теории меры
Можно считать, что функция
неотрицательно, поскольку в уравнение входит только его абсолютное значение. Теперь рассмотрим действительную функцию s на Икс данный
![s (x) =
begin {case}
varepsilon, & text {if} f (x) geq varepsilon
0, & text {if} f (x) < varepsilon
end {case}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/644466b8caf20ab1e71ade4d66f6412731ea7372)
потом
. По определению Интеграл Лебега
![int_X f (x) , d mu geq int_X s (x) , d mu = varepsilon mu ( {x in X: , f (x) geq varepsilon })](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd8c1200dc154d5a47269fe49804d64905be77f1)
и с тех пор
, обе стороны можно разделить на
, получение
![mu ( {x in X: , f (x) geq varepsilon }) leq {1 over varepsilon} int_X f , d mu.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729ec03ac6c2fc7fc0c6d2acf2ca45a7ea527247)
Следствия
Неравенство Чебышева
Неравенство Чебышева использует отклонение чтобы ограничить вероятность того, что случайная величина далеко отклоняется от среднего. Конкретно,
![{ displaystyle operatorname {P} (| X- operatorname {E} (X) | geq a) leq { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa24ef25dee1531d8ca12913908bf8f2da775b04)
для любого а > 0. Здесь Вар (Икс) это отклонение X, определяемый как:
![operatorname {Var} (X) = operatorname {E} [(X - operatorname {E} (X)) ^ 2].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71c7a116967cab98cb1eb56e626497e77ce354a2)
Неравенство Чебышева следует из неравенства Маркова при рассмотрении случайной величины
![(X- operatorname {E} (X)) ^ {2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ec980c7bdfd9176226f9c2549bfa6bde2d1e1d)
и постоянная
для которого неравенство Маркова гласит
![{ displaystyle operatorname {P} ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} geq a ^ {2}) leq { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d088ad48bf7319e44d2dfe827e585944ee6fb7b4)
Этот аргумент можно резюмировать (где «МИ» указывает на использование неравенства Маркова):
![{ displaystyle operatorname {P} (| X- operatorname {E} (X) | geq a) = operatorname {P} left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} geq a ^ {2} right) , { overset { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} left ((X- operatorname {E} (X)) ^ {2} right)} {a ^ {2}}} = { frac { operatorname {Var} (X)} {a ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1fa9c60e58299111a1c40cfddbb8e06d529259)
Другие следствия
- «Монотонный» результат можно продемонстрировать:
![{ displaystyle operatorname {P} (| X | geq a) = operatorname {P} { big (} varphi (| X |) geq varphi (a) { big)} , { overset { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} ( varphi (| X |))} { varphi (a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d2a1a97fd630aeb222d9a3f536f7927f9231c6)
- Результат, который для неотрицательной случайной величины Икс, то квантильная функция из Икс удовлетворяет:
![{ displaystyle Q_ {X} (1-p) leq { frac { operatorname {E} (X)} {p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e8d39f3343d52322450daac34135b8277a01be)
- доказательство с использованием
![{ displaystyle p leq operatorname {P} (X geq Q_ {X} (1-p)) , { overset { underset { mathrm {MI}} {}} { leq}} , { frac { operatorname {E} (X)} {Q_ {X} (1-p)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dabee1144a9a1d739d5b4bf856368694a76725b7)
- Позволять
- самосопряженная матричнозначная случайная величина и а > 0. потом![{ displaystyle operatorname {P} (M npreceq a cdot I) leq { frac { operatorname {tr} left (E (M) right)} {na}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b54cef8a5380aed0af66cbf7df8d0ae1fb4965e)
- можно показать аналогичным образом.
Примеры
Если предположить, что нет отрицательного дохода, неравенство Маркова показывает, что не более 1/5 населения может иметь доход более чем в 5 раз больше среднего.
Смотрите также
Рекомендации
внешняя ссылка