Теорема Паппуса о шестиугольнике - Википедия - Pappuss hexagon theorem
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/Pappus-proj-ev.svg/220px-Pappus-proj-ev.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0d/Pappus-aff-ev.svg/220px-Pappus-aff-ev.svg.png)
В математике Теорема Паппа о шестиугольнике (приписывается Папп Александрийский ) утверждает, что
- учитывая один набор коллинеарен точки , и еще один набор коллинеарных точек , то точки пересечения из линия пары и и и находятся коллинеарен, лежа на Линия Паппа. Эти три точки являются точками пересечения «противоположных» сторон шестиугольника. .
Он держится в проективная плоскость над любым полем, но не для проективных плоскостей над любыми некоммутативными делительное кольцо.[1] Проективные плоскости, в которых «теорема» верна, называются паппийские самолеты.
Если ограничить проективную плоскость так, что линия Паппа прямая на бесконечности, получается аффинная версия теоремы Паппа, показанной на второй диаграмме.
Если линия Паппа и линии есть что-то общее, получается так называемое маленький версия теоремы Паппа[2].
В двойной этого теорема инцидентности заявляет, что с учетом одного набора параллельные линии , и еще один набор параллельных строк , то строки определяется парами точек, полученных в результате пар пересечений и и и совпадают. (Одновременный означает, что линии проходят через одну точку.)
Теорема Паппа - это особый случай из Теорема Паскаля для конуса - предельный случай когда коническая вырождается на 2 прямые. Теорема Паскаля, в свою очередь, является частным случаем Теорема Кэли – Бахараха.
В Конфигурация Pappus это конфигурация из 9 линий и 9 точек, которое встречается в теореме Паппа, причем каждая линия пересекает 3 точки, а каждая точка пересекает 3 линии. В целом линия Паппа не проходит через точку пересечения и .[3] Эта конфигурация самодвойственный. Поскольку, в частности, строки иметь свойства линий двойственной теоремы и коллинеарность эквивалентно совпадению , двойственная теорема - это то же самое, что и сама теорема. В Граф Леви конфигурации Pappus - это График Паппа, а двудольный дистанционно-регулярный граф с 18 вершинами и 27 ребрами.
Доказательство: аффинная форма
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Pappus-proof-ev.svg/220px-Pappus-proof-ev.svg.png)
Если аффинная форма утверждения может быть доказана, то проективная форма теоремы Паппа доказана, поскольку расширение папповой плоскости на проективную плоскость единственно.
Из-за параллельности в аффинной плоскости следует различать два случая: и . Ключом к простому доказательству является возможность введения «подходящей» системы координат:
Случай 1: Линии пересекаться в точке .
В этом случае вводятся координаты такие, что (см. диаграмму). иметь координаты .
От параллельности линий один получает и параллельность линий дает . Следовательно, строка имеет наклон и параллельная линия .
Случай 2: (маленькая теорема).
В этом случае координаты выбираются так, чтобы . Из параллельности и один получает и соответственно и хотя бы параллельность .
Доказательство с однородными координатами
Выберите однородные координаты с помощью
- .
На линиях , данный , возьми очки быть
для некоторых . Три линии находятся , поэтому они проходят через одну и ту же точку если и только если . Условие для трех строк и с уравнениями пройти через ту же точку является . Таким образом, этот последний набор из трех строк является параллельным, если все остальные восемь наборов являются потому, что умножение коммутативно, поэтому . Эквивалентно коллинеарны.
Приведенное выше доказательство также показывает, что для справедливости теоремы Паппа для проективного пространства над телом достаточно и необходимо, чтобы тело было (коммутативным) полем. Немецкий математик Герхард Хессенберг доказал, что из теоремы Паппа следует Теорема дезарга.[4][5] Вообще говоря, теорема Паппа верна для некоторой проективной плоскости тогда и только тогда, когда она является проективной плоскостью над коммутативным полем. Проективные плоскости, в которых теорема Паппа не выполняется, следующие: Дезарговский проективные плоскости над некоммутативными телами и недезарговские планы.
Доказательство недействительно, если оказываются коллинеарными. В этом случае может быть предоставлено альтернативное доказательство, например, с использованием другой проективной ссылки.
Двойственная теорема
Из-за принцип двойственности для проективных плоскостей то двойственная теорема Паппа правда:
Если 6 строк выбираются поочередно из двух карандаши с центрами , линии
параллельны, это означает, что они имеют точку в общем.
Левая диаграмма показывает проективную версию, правая - аффинную версию, где точки - бесконечно удаленные точки. Если точка на линии чем получается «двойственная маленькая теорема» теоремы Паппа.
двойственная теорема: проективная форма
двойственная теорема: аффинная форма
Если в аффинной версии двойственной «малой теоремы» точка тоже точка в бесконечности, получается Теорема Томсена, утверждение о 6 точках на сторонах треугольника (см. диаграмму). Фигура Томсена играет важную роль в координации аксиоматически определенной проективной плоскости.[6]. Доказательство замыкания фигуры Томсена покрывается приведенным выше доказательством «маленькой теоремы». Но существует и простое прямое доказательство:
Поскольку в формулировке теоремы Томсена (замыкание рисунка) используются только термины соединить, пересечь и параллельно, заявление аффинно инвариантен, и можно ввести координаты такие, что (см. диаграмму справа). Отправной точкой последовательности аккордов является Нетрудно проверить координаты точек, указанные на диаграмме, которая показывает: последняя точка совпадает с первой точкой.
Фигура Томсена (точки треугольника ) как двойственную теорему малой теоремы Паппа ( тоже на бесконечности!).
Фигура Томсена: доказательство
Другие утверждения теоремы
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Pappus_hexagon.svg/300px-Pappus_hexagon.svg.png)
В дополнение к приведенным выше характеристикам теоремы Паппа и двойственной к ней теоремы эквивалентны следующие утверждения:
- Если шесть вершин шестиугольника лежат попеременно на двух прямых, то три точки пересечения пар противоположных сторон лежат на одной прямой.[7]
- Сгруппированы в матрицу из девяти точек (как на рисунке и в описании выше) и рассматриваются как оценка постоянный, если первые две строки и шесть «диагональных» триад коллинеарны, то третья строка коллинеарна.
- То есть, если являются прямыми, то теорема Паппа утверждает, что должна быть линия. Также обратите внимание, что та же матричная формулировка применяется к двойственной форме теоремы, когда и Т. Д. являются тройками параллельных строк.[8]
- Учитывая три различные точки на каждой из двух разных линий, соедините каждую точку на одной из линий с точкой на другой линии, тогда соединения непарных точек будут встречаться (противоположными) парами в точках вдоль линии.[9]
- Если два треугольника перспектива по крайней мере двумя разными способами, тогда они перспективны с трех сторон.[4]
- Если и параллельны и и совпадают, то и совпадают.[8]
Происхождение
В своей самой ранней известной форме теорема Паппа - это предложения 138, 139, 141 и 143 книги VII Паппа Коллекция.[10] Это леммы XII, XIII, XV и XVII в части книги VII, состоящей из лемм к первой из трех книг Евклид с Поризмы.
Леммы доказываются в терминах того, что сегодня известно как перекрестное отношение четырех коллинеарных точек. Используются три предыдущие леммы. Первая из них, лемма III, имеет диаграмму ниже (в которой используются буквы Паппа, где G обозначает Γ, D для Δ, J для и L для Λ).
Здесь три параллельные прямые AB, AG и AD пересекаются двумя линиями JB и JE, которые пересекаются в точке J. Также линия KL проводится параллельно AZ.
- KJ: JL :: (KJ: AG и AG: JL) :: (JD: GD и BG: JB).
Сегодня эти пропорции можно записать в виде уравнений:[11]
- KJ / JL = (KJ / AG) (AG / JL) = (JD / GD) (BG / JB).
Последнее сложное соотношение (а именно JD: GD и BG: JB) - это то, что сегодня известно как перекрестное соотношение коллинеарных точек J, G, D и B в указанном порядке; сегодня он обозначается (J, G; D, B). Итак, мы показали, что это не зависит от выбора конкретной прямой JD, которая пересекает три прямые, совпадающие в точке A. В частности
- (J, G; D, B) = (J, Z; H, E).
Неважно, с какой стороны от A падает прямая JE. В частности, ситуация может быть такой, как на следующей диаграмме, которая является диаграммой для леммы X.
Как и раньше, имеем (J, G; D, B) = (J, Z; H, E). Папп не доказывает это явно; но лемма X обратная, а именно, что если эти два поперечных отношения одинаковы и прямые BE и DH пересекаются в точке A, то точки G, A и Z должны быть коллинеарны.
То, что мы показали изначально, можно записать как (J, ∞; K, L) = (J, G; D, B), где ∞ занимает место (несуществующего) пересечения JK и AG. Папп показывает это в лемме XI, диаграмма которой, однако, имеет другие буквы:
Папп показывает DE.ZH: EZ.HD :: GB: BE, которое мы можем записать как
- (D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).
Схема леммы XII:
Схема для леммы XIII такая же, но расширенные BA и DG пересекаются в N. В любом случае, если считать прямые, проходящие через G, отрезанными тремя прямыми, проходящими через A, (и принимая, что уравнения взаимных отношений остаются в силе после перестановка элементов,) по лемме III или XI
- (G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).
Рассматривая прямые, проходящие через D, разрезанные тремя прямыми, проходящими через B, мы имеем
- (L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).
Таким образом, (E, H; J, G) = (E, K; D, L), поэтому по лемме X точки H, M и K лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника ADEGBZ лежат на одной прямой.
Леммы XV и XVII заключаются в том, что если точка M определяется как пересечение HK и BG, то точки A, M и D лежат на одной прямой. То есть точки пересечения пар противоположных сторон шестиугольника БЕКХЗГ лежат на одной прямой.
Примечания
- ^ Кокстер, стр. 236–7
- ^ Рольф Лингенберг: Grundlagen der Geometrie, Б.И. Ташенбух, 1969, стр. 93
- ^ Однако это происходит, когда и находятся в перспектива, то есть, и совпадают.
- ^ а б Кокстер 1969, п. 238
- ^ В соответствии с (Дембовский 1968, стр. 159, сноска 1), оригинальное доказательство Хессенберга Гессенберг (1905) не полный; он проигнорировал возможность того, что в конфигурации Дезарга могли произойти некоторые дополнительные инциденты. Полное доказательство предоставлено Кронхейм 1953.
- ^ В. Блашке: Проективная геометрия, Springer-Verlag, 2013, ISBN 3034869320, С. 190
- ^ Кокстер, стр. 231
- ^ а б Кокстер, стр. 233
- ^ Уичер, глава 14
- ^ Хит (Том II, стр. 421) цитирует эти утверждения. Последние два могут быть поняты как противоположность первых двух. Клайн (стр. 128) цитирует только предложение 139. Нумерация предложений такая, как определено Хульчем.
- ^ Причина использования приведенных выше обозначений заключается в том, что для древних греков отношение не было числом или геометрическим объектом. Сегодня мы можем думать о соотношении как о классе эквивалентности пар геометрических объектов. Кроме того, равенство для греков - это то, что мы сегодня можем назвать конгруэнтностью. В частности, отдельные линейные сегменты могут быть одинаковыми. Соотношения не равный в этом смысле; но они могут быть одно и тоже.
Рекомендации
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, ISBN 978-0-471-50458-0, МИСТЕР 0123930
- Кронхейм, А. (1953), "Доказательство теоремы Хессенберга", Труды Американского математического общества, 4 (2): 219–221, Дои:10.2307/2031794, JSTOR 2031794
- Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Берлин: Springer Verlag
- Хит, Томас (1981) [1921], История греческой математики, Нью-Йорк: Дувр
- Гессенберг, Герхард (1905), "Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen", Mathematische Annalen, Берлин / Гейдельберг: Springer, 61 (2): 161–172, Дои:10.1007 / BF01457558, ISSN 1432-1807
- Хульч, Фридерикус (1877), Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, Берлин
- Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета.
- Уичер, Олив (1971), Проективная геометрия, Рудольф Штайнер Пресс, ISBN 0-85440-245-4