Теорема о перпендикулярной оси - Perpendicular axis theorem

В теорема о перпендикулярной оси утверждает, что момент инерции плоская пластинка вокруг оси, перпендикулярной плоскости пластинки, равно сумме моментов инерции пластинки относительно двух осей, расположенных под прямым углом друг к другу, в своей собственной плоскости, пересекающей друг друга в точке, где перпендикулярная ось проходит через Это.

Определить перпендикулярные оси ${displaystyle x}$ , ${displaystyle y}$ , и ${displaystyle z}$ (которые встречаются в начале ${displaystyle O}$ ) так что тело лежит в ${displaystyle xy}$ самолет, и ${displaystyle z}$ ось перпендикулярна плоскости тела. Позволять я_Икс, я_у и я_z быть моментами инерции относительно осей x, y, z соответственно, теорема о перпендикулярной оси утверждает, что^[1]

{displaystyle I_ {z} = I_ {x} + I_ {y}}

Это правило можно применить с теорема о параллельной оси и правило растяжения найти полярные моменты инерции для различных форм.

Если плоский объект (или призма, правило растяжения ) имеет вращательную симметрию такую, что ${displaystyle I_ {x}}$ и ${displaystyle I_ {y}}$ равны^[2], то теорема о перпендикулярных осях дает полезное соотношение:

{displaystyle I_ {z} = 2I_ {x} = 2I_ {y}}

Вывод

Работая в декартовых координатах, момент инерции плоского тела относительно ${displaystyle z}$ ось задается:^[3]

{displaystyle I_ {z} = int left (x ^ {2} + y ^ {2} ight), dm = int x ^ {2}, dm + int y ^ {2}, dm = I_ {y} + I_ {Икс}}

На самолете, ${displaystyle z = 0}$ , поэтому эти два члена являются моментами инерции относительно ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ осей соответственно, что дает теорему о перпендикулярных осях. Аналогично выводится и обратная теорема.

Обратите внимание, что ${displaystyle int x ^ {2}, dm = I_ {y} eq I_ {x}}$ потому что в ${displaystyle int r ^ {2}, dm}$ , r измеряет расстояние от ось вращения, поэтому для вращения по оси Y расстояние отклонения от оси вращения точки равно ее координате x.

Смотрите также

[1] Пол А. Типлер (1976). «Глава 12: Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси». Физика. Worth Publishers Inc. ISBN 0-87901-041-X.

[2] Обрегон, Хоакин (2012). Механическая симметрия. Авторский Дом. ISBN 978-1-4772-3372-6.

[3] К. Ф. Райли, М. П. Хобсон и С. Дж. Бенс (2006). «Глава 6: Кратные интегралы». Математические методы для физики и инженерии. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-67971-8.

[1]

[2]

[3]

Теорема о перпендикулярной оси - Perpendicular axis theorem

Вывод

Рекомендации

Смотрите также