Планигон - Википедия - Planigon

Три правильные многоугольники, 8 планигоны, четыре полуправильных планигона и шесть непригодных для использования планигонных треугольников, которые не могут участвовать в двойных однородных мозаиках; все в масштабе. Они окрашены обратно пропорционально размеру и упорядочены по размеру в каждой категории. Размер всего изображения составляет половину каждой двойной однородной мозаики (2560 × 1280 пикселей).

В геометрия, а планигон это выпуклый многоугольник который может заполнить плоскость только своими копиями (которые изотопический к основные единицы из моноэдральная мозаика ). На евклидовой плоскости есть 3 правильные формы равносторонний треугольник, квадраты, и правильные шестиугольники; и 8 полурегулярных форм; и 4-полурегулярные формы, которые могут перекрывать плоскость другими планигонами.

Все углы планигона составляют целые 360 °. Замощения образуются соединениями от края до края серединными перпендикулярными ребрам исходной однородной решетки или центроидами по общим ребрам (они совпадают).

Плитки из планигонов можно рассматривать как двойные мозаики к регулярный, полурегулярный, и полурегулярный разбиение плоскости на правильные многоугольники.

История

В книге 1987 г. Плитки и узоры, Бранко Грюнбаум называет однородные по вершинам мозаики Архимедов параллельно с Архимедовы тела. Их двойные мозаики называются Лавес плитки в честь кристаллограф Фриц Лавес.[1][2] Их еще называют Разбиения Шубникова – Лавеса после Шубников Алексей Васильевич.[3] Джон Конвей называет равномерные дуалы Каталонская мозаика, параллельно с Каталонский твердый многогранники.

У мозаик Лавеса есть вершины в центрах правильных многоугольников и ребра, соединяющие центры правильных многоугольников с общим ребром. В плитка мозаик Лавеса называются планигоны. Сюда входят 3 правильных плитки (треугольник, квадрат и шестиугольник) и 8 неправильных плиток.[4] У каждой вершины есть ребра, равномерно расположенные вокруг нее. Трехмерные аналоги планигоны называются стереоэдры.

Эти мозаики перечислены по их конфигурация лица, количество граней в каждой вершине грани. Например V4.8.8 (или V4.82) означает плитки равнобедренных треугольников, в одном углу которых четыре треугольника, а в двух углах - восемь треугольников.

Строительство

В Конвей операция двойных перестановок граней и вершин. В Архимедовы тела и k-однородные мозаики аналогично, новая вершина совпадает с центром каждого обычное лицо, или центроид. В евклидовом (плоском) случае; чтобы создать новые грани вокруг каждой исходной вершины, центроиды должны быть соединены новыми ребрами, каждое из которых должно пересекать ровно одно из исходных ребер. Поскольку правильные многоугольники имеют двугранная симметрия, мы видим, что эти новые грани центроид-центроид должны быть перпендикулярные биссектрисы общих исходных ребер (например, центр тяжести лежит на всех ребрах, перпендикулярных биссектрисам правильного многоугольника). Таким образом, края k-двойные равномерные мозаики совпадают с отрезками средней точки всех правильных многоугольников в k-однородные мозаики.

Итак, мы можем в качестве альтернативы построить k-двойные однородные мозаики (и все 21 планигон) эквивалентно путем формирования новых сегментов средней точки с ребрами центроидов исходных правильных многоугольников (рассекая правильные п-угольники в п конгруэнтные дельтовидные мышцы, орто ), а затем удалив исходные края (двойной ). Замкнутые планигоны будут формироваться вокруг внутренних вершин, а линейные сегменты (многих возможных) планигонов будут формироваться вокруг граничных вершин, давая точный результат. k-двойная однородная решетка (орто -наложенные и в масштабе). С другой стороны, соединение центроид-центроид дает только внутренние планигоны (с переменным перемещением и масштабом), но эта конструкция, тем не менее, эквивалентна внутри. Если оригинал k- равномерная мозаика заполняет всю рамку, затем k-двойная равномерная решетка по первой конструкции, и отрезки граничных линий можно не учитывать (эквивалент второй конструкции).

Как видно ниже, некоторые типы вершинных полигонов отличаются от своих зеркальных отображений и перечислены дважды. Например, треугольник зеркальное отображение, если все уникальны. На этих изображениях многоугольники вершин перечислены против часовой стрелки справа и закрашены разными цветами с помощью длина волны частота обратная площади. Обратите внимание, 4.82 фиолетово-красный планигон окрашен неуместно, так как не может существовать ни с одним другим планигон в любом k-однородная черепица. Всего существует 29 возможных правильных вершинных многоугольников (21 исключая энантиоморфы ): 3 правильные многоугольники, 8 планигоны, 4 полуправильные планигоны, и 6 неиспользуемые полигоны.

Строительство Every Single Planigon.png

Альтернативная конструкция

Все 14 произвольных равномерно используемых вершинных регулярных планигонов (VRP) также приветствуют[5] от 6-5 додекаграмма (где каждый сегмент подчиняется радианы, или градусов).

В окружать этой додекаграммы демонстрирует, что все 14 VRP кокциклический, как альтернативно показано окружностью амвонских упаковок. Напоминаем, что отношение вписанной окружности к описанной составляет

а выпуклая оболочка - это в точности регулярные додекагоны в произвольных равномерных мозаиках! Фактически, равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и правильный двенадцатигранник; показаны ниже вместе с VRP:

Построение правильных многоугольников и вершинных правильных планигонов произвольных равномерных мозаик из додекаграммы 6-5. Эта додекаграмма имеет края, охватывающие 150 градусов. Есть 4 правильных многоугольника и 14 вершинных правильных планигонов (правильный восьмиугольник и равнобедренный прямоугольный треугольник использовать нельзя).

Вывод всех возможных правильных вершинных многоугольников

Для непрерывных евклидовых мозаик внутренние углы полигонов, пересекающихся в вершине, должно составлять 360 градусов. Обычный п-угольник имеет внутренний угол градусов. Существует семнадцать комбинаций правильных многоугольников, внутренние углы которых в сумме составляют 360 градусов, каждая из которых называется разновидность вершины; в четырех случаях есть два различных циклических порядка многоугольников, что дает двадцать один типы вершины.

Фактически с вершинными (внутренними) углами , мы можем найти все комбинации допустимых углов угла по следующим правилам: (i) каждая вершина имеет степень не менее 3 (вершина степени 2 должна иметь два прямых угла или один угол отражения); (ii) если вершина имеет степень , наименьший сумма углов вершин многоугольника превышает ; (iii) углы при вершинах складываются с , и должны быть углами правильных многоугольников с целыми положительными сторонами (последовательности ). Решение задачи 9.46, Геометрия (Рускик), стоит в столбце Степень 3 Вершина ниже.[6]

Расположение правильных многоугольников вокруг вершины
Степень-6 вершинаВершина степени 5Вершина степени 4Вершина степени 3
*

(треугольник с девичник дает 13.200-угольник, квадрат с семиугольник дает 9,3333-угольник, а пятиугольник с шестиугольником дает 7,5000-угольник). Тогда есть комбинации правильных многоугольников, которые встречаются в вершине.

Только одиннадцать из них могут встречаться в однородной мозаике правильных многоугольников, как это было описано в предыдущих разделах. * The не может сосуществовать с вершинами других типов.

В частности, если три многоугольника пересекаются в вершине и у одного нечетное количество сторон, два других многоугольника должны быть одинаковыми. Если это не так, им пришлось бы чередовать первый многоугольник, что невозможно, если у него нечетное количество сторон. Из-за этого ограничения эти шесть не могут появляться ни в одной мозаике из правильных многоугольников:

3 полигона в вершине (нельзя использовать)
Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 3 7 42.svg3.7.42Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 3 8 24.svg3.8.24Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 3 9 18.svg3.9.18Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 3 10 15.svg3.10.15Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 4 5 20.svg4.5.20Правильные многоугольники пересекаются в вершине 3 5 5 10.svg52.10

Эти четыре могут быть использованы в k-однородные мозаики:

4 полигона в вершине (можно смешивать с другими типами вершин)
Действительный

вершины

Тип вершины 3-3-4-12.svg32.4.12Тип вершины 3-4-3-12.svg3.4.3.12Тип вершины 3-3-6-6.svg32.62Тип вершины 3-4-4-6.svg3.42.6
Пример

2-однородные мозаики

2-униформа n13.svgс 362-униформа n2.svgс 3,1222-униформа n11.svgс (3.6)22-униформа n6.svgс (3.6)2
Действительный

Полупланигоны

Первый полупланигон
Двойной полупланигон:

V32.4.12

Semiplanigon V.3.4.3.12 (Создано Desmos) .png
Двойной полупланигон:

V3.4.3.12

Semiplanigon V.3.3.6.6 (Desmos Generated) .png
Двойной полупланигон:

V32.62

Semiplanigon V.3.4.4.6 (Desmos Generated) .png
Двойной полупланигон:

V3.42.6

Пример

Двойная 2-форма

Плитки

(Двойные соединения)

Группа переводов усеченной трехгексагональной мозаики Hexakis (Uniform 2) .png
с V36
Группа переводов Small Star Tiling.png
с V3.122
Группа переводов 3.3.6.6; 3.6.3.6.png
с V (3.6)2
Группа перевода 3.4.4.6; 3.6.3.6.png
с V3.42.6

Наконец, все правильные многоугольники и используемые вершинные многоугольники представлены на втором изображении ниже, показывая их площади и длины сторон относительно для любого правильного многоугольника.

Площади и размеры однородных многоугольников, планигонов и полупланигонов.png

Количество двойных однородных мозаик

Каждое двойственное равномерное замощение находится в соответствии 1: 1 с соответствующим равномерным замощением посредством построения указанных выше планигонов и наложения.

Такие периодические мозаики можно классифицировать по количеству орбиты вершин, ребер и плиток. Если есть k орбиты планигонов, мозаика известна как k-двойная форма или k-изоэдральная; если есть т орбиты двойственных вершин, как т-изогональный; если есть е орбиты ребер, как е-изотоксальный.

k-двойно-однородные мозаики с одинаковыми фигурами вершин можно идентифицировать по их группа обоев симметрия, которая идентична симметрии соответствующих k-однородная черепица.

1-двойственно-однородные мозаики включают 3 правильных мозаики и 8 мозаик Лавеса с 2 или более типами вершин правильной степени. Есть 20 2-двойственно-однородных мозаик, 61 3-дуально-однородные мозаики, 151 4-двойственно-однородные мозаики, 332 5-двойственно-однородных мозаики и 673 6-дуально-однородных мозаик. Каждый можно сгруппировать по номеру м различных вершинных фигур, которые также называются м-Архимедовы мозаики.[7]

Наконец, если количество типов планигонов такое же, как однородность (м = k ниже), то замощение называется Krotenheerdt. В общем, равномерность больше или равна количеству типов вершин (мk), поскольку разные типы планигонов обязательно имеют разные орбиты, но не наоборот. Параметр м = п = k, таких двойственных мозаик для п = 1; 20 таких двойных мозаик для п = 2; 39 таких двойственных мозаик для п = 3; 33 таких двойных мозаики для п = 4; 15 таких двойных мозаик для п = 5; 10 таких двойственных мозаик для п = 6; и 7 таких двойственных мозаик для п = 7.

Регулярные плитки и мозаики Лавеса

Показаны 3 правильных и 8 полурегулярных мозаик Лавеса с правильными вершинными планигонами, окрашенными обратно пропорционально площади, как в конструкции.

Три регулярные планигоны (многоугольники) для масштабирования
ТреугольникиКвадратыШестиугольники
ПлиткаKrotenheerdt 0-Dual-Uniform 3 (EquilTri) .pngKrotenheerdt 0-Dual-Uniform 2 (Квадрат) .pngKrotenheerdt 0-Dual-Uniform 1 (Hexagon) .png
Изображение
КонфигV63V44V36
8 полуправильные планигоны масштабировать
Треугольники
ПлиткаKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 5 (RightIso) .pngKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 1 (ObtuseTri) .pngKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 3 (306090) .png
Изображение
КонфигV4.82V3.122V4.6.12
Четырехугольники
ПлиткаKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 4 (Ромб) .pngKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 2 (Дельтовид) .png
Изображение
КонфигВ (3,6)2V3.4.6.4
Пентагоны
ПлиткаKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 8 (Floret) .pngKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 6 (Каир) .pngKrotenheerdt 1-Dual-Uniform 7 (Сарай) .png
Изображение
КонфигV34.6V32.4.3.4V33.42

Высшие двойные однородные мозаики

Вставки двойных планигонов в вершины более высоких степеней

  • Вершину шестой степени можно заменить центральным правильным шестиугольником и шестью исходящими из него ребрами;
  • Вершина двенадцатой степени может быть заменена шестью дельтоидами (центральным дельтовидным шестиугольником) и двенадцатью исходящими от него ребрами;
  • Вершину двенадцатой степени можно заменить шестью пятиугольниками Каира, центральным шестиугольником и двенадцатью исходящими от него ребрами (рассекая вершину шестой степени в центре предыдущего примера).


Вставка многоугольника в однородные мозаики 1.png
Полигон рассечения 2.png
Полигон рассечения 3.png
Двойные процессы (двойные «вставки»)


Дуалы Кротенхердта с двумя планигонами

Удалить при разрешении: Кроме того, я не вижу причин, по которым ваши изображения общий лучше, чем моя, что вы, кажется, предлагаете. Для этого нам может понадобиться третий читатель ... склонны ли читатели нет нажать на изображения, чтобы просмотреть их подробнее? Потому что в режиме проверки мои изображения более четкие, а в режиме чтения ваши изображения более четкие.

Есть 20 плиток, сделанных из 2 типов планигонов, двойных 2-однородные мозаики (Кротенхердт Duals):

Двойники 2-однородных мозаик (20)
п6м, * 632p4m, * 442
2-униформа 18 dual.svg
[V36; V32.4.3.4]
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-4-3-4.svg
2-униформа 9 dual.svg
[V3.4.6.4; V32.4.3.4
Фасадная плитка 3-4-6-4.svg Поверхность плитки 3-3-4-3-4.svg
2-униформа 8 dual.svg
[V3.4.6.4; V33.42]
Фасадная плитка 3-4-6-4.svg Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg
2-униформа 5 dual.svg
[V3.4.6.4; V3.42.6]
Фасадная плитка 3-4-6-4.svg Фасадная плитка 3-4-4-6.svg
2-униформа 1 dual.svg
[V4.6.12; V3.4.6.4]
Фасад плитки 4-6-12.svg Фасадная плитка 3-4-6-4.svg
2-униформа 13 dual.svg
[V36; V32.4.12]
Зеленый hexagon.svg Фасад плитки 3-3-4-12.svg
2-униформа 2 dual.svg
[3.12.12; 3.4.3.12]
Фасадная плитка 3-12-12.svg Фасадная плитка 3-4-3-12.svg
п6м, * 632п6, 632п6, 632см, 2 * 22пмм, * 2222см, 2 * 22пмм, * 2222
2-униформа 10 dual.svg
[V36; V32.62]
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-6-6.svg
2-униформа 19 dual.svg
[V36; V34.6]1
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-3-3-6.svg
2-униформа 20 dual.svg
[V36; V34.6]2
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-3-3-6.svg
2-униформа 12 dual.svg
[V32.62; V34.6]
Поверхность плитки 3-3-6-6.svg Поверхность плитки 3-3-3-3-6.svg
2-униформа 11 dual.svg
[V3.6.3.6; V32.62]
Поверхность плитки 3-6-3-6.svg Поверхность плитки 3-3-6-6.svg
2-униформа 6 dual.svg
[V3.42.6; V3.6.3.6]]2
Фасадная плитка 3-4-4-6.svg Поверхность плитки 3-6-3-6.svg
2-униформа 7 dual.svg
[3.42.6; 3.6.3.6]1
Фасадная плитка 3-4-4-6.svg Поверхность плитки 3-6-3-6.svg
p4g, 4 * 2пгг, 22 ×см, 2 * 22см, 2 * 22пмм, * 2222см, 2 * 22
2-униформа 16 dual.svg
[V33.42; V32.4.3.4]1
Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg Поверхность плитки 3-3-4-3-4.svg
2-униформа 17 dual.svg
[V33.42; V32.4.3.4]2
Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg Поверхность плитки 3-3-4-3-4.svg
2-униформа 4 dual.svg
[V44; V33.42]1
Красная площадь.svg Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg
2-униформа 3 dual.svg
[V44; V33.42]2
Красная площадь.svg Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg
2-униформа 14 dual.svg
[V36; V33.42]1
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg
2-униформа 15 dual.svg
[V36; V33.42]2
Зеленый hexagon.svg Поверхность плитки 3-3-3-4-4.svg

Дуалы Кротенхердта с тремя планигонами

Плитка 3 вида плитки (39)
[V3.426; 3.6.3.6; V4.6.12]

(v = 6, e = 7)

3-униформа 6 dual.svg[V36; 324,12; V4.6.12]

(v = 5, e = 6)

[V324,12; 3.4.6.4; V3.122]

(v = 5, e = 6)

[V3.4.3.12; 3.4.6.4; 3,122]

(v = 5, e = 6)

[V3342; 324.12; 3.4.6.4]

(v = 6, e = 8)

3-униформа 47 dual.svg[V36; V3342; V324.12]

(v = 6, e = 7)

3-униформа 48 dual.svg[V36; V324.3.4; V324.12]

(v = 5, e = 6)

[V346; V3342; V324.3.4]

(v = 5, e = 6)

3-униформа 24 dual.svg[V36; V324.3.4; V3.426]

(v = 5, e = 6)

3-униформа 34 dual.svg[V36; V324.3.4; V3.4.6.4]

(v = 5, e = 6)

3-униформа 36 dual.svg[V36; V3342; V3.4.6.4]

(v = 6, e = 6)

3-униформа 37 dual.svg[V36; V324.3.4; V3.4.6.4]

(v = 6, e = 6)

[V36; V3342; V324.3.4]

(v = 4, e = 5)

[V324,12; V3.4.3.12; V3.122]

(v = 4, e = 7)

[V3.4.6.4; V3.426; V44]

(v = 3, e = 4)

[V324.3.4; V3.4.6.4; V3.426]

(v = 4, e = 6)

[V3342; V324.3.4; 44]

(v = 4, e = 6)

[V3.426; V3.6.3.6; V44]

(v = 5, e = 7)

[V3.426; V3.6.3.6; V44]

(v = 6, e = 7)

[V3.426; V3.6.3.6; V44]

(v = 4, e = 5)

[V3.426; V3.6.3.6; V44]

(v = 5, e = 6)

[V3342; V3262; V3.426]

(v = 5, e = 8)

[V3262; V3.426; 3.6.3.6]

(v = 4, e = 7)

[V3262; V3.426; 3.6.3.6]

(v = 5, e = 7)

[V346; V3342; V3.426]

(v = 5, e = 7)

[V3262; V3.6.3.6; V63]

(v = 4, e = 5)

[V3262; V3.6.3.6; V63]

(v = 2, e = 4)

3-униформа 3 dual.svg[V346; V3262; V63]

(v = 2, e = 5)

3-униформа 4 dual.svg[V36; V3262; V63]

(v = 2, e = 3)

3-униформа 38 dual.svg[V36; V346; V3262]

(v = 5, e = 8)

3-униформа 40 dual.svg[V36; V346; V3262]

(v = 3, e = 5)

3-униформа 41 dual.svg[V36; V346; V3262]

(v = 3, e = 6)

3-униформа 44 dual.svg[V36; V346; V3.6.3.6]

(v = 5, e = 6)

3-униформа 42 dual.svg[V36; V346; V3.6.3.6]

(v = 4, e = 4)

3-униформа 43 dual.svg[V36; V346; V3.6.3.6]

(v = 3, e = 3)

3-униформа 14 dual.svg[V36; V3342; V44]

(v = 4, e = 6)

3-униформа 15 dual.svg[V36; V3342; V44]

(v = 5, e = 7)

3-униформа 20 dual.svg[V36; V3342; V44]

(v = 3, e = 5)

3-униформа 21 dual.svg[V36; V3342; V44]

(v = 4, e = 6)

Дуалы Кротенхердта с четырьмя планигонами

4-однородные мозаики с 4 типами вершин (33)
[33434; 3262; 3446; 63][3342; 3262; 3446; 46.12][33434; 3262; 3446; 46.12][36; 3342; 33434; 334.12][36; 33434; 334.12; 3.122]
[36; 33434; 343.12; 3.122][36; 3342; 33434; 3464][36; 3342; 33434; 3464][36; 33434; 3464; 3446][346; 3262; 3636; 63]
[346; 3262; 3636; 63][334.12; 343.12; 3464; 46.12][3342; 334.12; 343.12; 3.122][3342; 334.12; 343.12; 44][3342; 334.12; 343.12; 3.122]
[36; 3342; 33434; 44][33434; 3262; 3464; 3446][36; 3342; 3446; 3636][36; 346; 3446; 3636][36; 346; 3446; 3636]
[36; 346; 3342; 3446][36; 346; 3342; 3446][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 63]
[36; 346; 3262; 63][36; 346; 3262; 3636][3342; 3262; 3446; 63][3342; 3262; 3446; 63][3262; 3446; 3636; 44]
33 Krotenheerdt-4 Двойной[3262; 3446; 3636; 44][3262; 3446; 3636; 44][3262; 3446; 3636; 44]33 Krotenheerdt-4 Двойной

Все Униформа 4 Krotenheerdt.png

Дуалы Кротенхердта с пятью планигонами

Есть 15 5-однородные двойственные мозаики с 5 уникальными планигонами.

5-однородные двойные мозаики, 5 планжонов

V [33434; 3262; 3464; 3446; 63]

V [36; 346; 3262; 3636; 63]

V [36; 346; 3342; 3446; 46.12]

V [346; 3342; 33434; 3446; 44]

V [36; 33434; 3464; 3446; 3636]

V [36; 346; 3464; 3446; 3636]

V [33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46.12]


V [36; 346; 3446; 3636; 44]

V [36; 346; 3446; 3636; 44]

V [36; 346; 3446; 3636; 44]

V [36; 346; 3446; 3636; 44]

V [36; 3342; 3446; 3636; 44]

V [36; 346; 3342; 3446; 44]

V [36; 3342; 3262; 3446; 3636]

[36; 346; 3342; 3262; 3446]

Дуалы Кротенхердта с шестью планигонами

Есть 10 6-однородные двойственные мозаики с 6 уникальными планигонами.

6-однородные двойственные мозаики, 6 планигонов

[V44; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
2.4.3.4; V33.42; V32.62]

; V34.6; V3.4.4.6;
V32.4.3.4; V33.42; V32.62]

[V44; V34.6; V3.4.4.6;
V36; V33.42; V32.62]

[V44; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
В (3,6)2; V33.42; V32.46;
V36; V33.42; V32.4.3.4]

[V36, V3.4.6.4; V3.4.4.6;
V32.4.3.4; V33.42; V32.62]

[V34.6; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
V32.62; V33.42; V32.4.3.4]

[V36; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
В (3,6)2; V33.42; V32.4.12]

[V36; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
V34.6; V33.42; V32.4.3.4]

[V34.6; V3.4.6.4; V3.4.4.6;
В (3,6)2; V33.42; V32.4.3.4]

Дуалы Кротенхердта с семью планигонами

Есть 7 7-однородные двойственные мозаики с 7 уникальными планигонами.

7-однородные двойственные мозаики, 7 планигонов

V [36; 33.42; 32.4.3.4; 44;
3.42.6; 32.62; 63]

V [36; 33.42; 32.4.3.4; 34.6;
3.42.6; 32.4.12; 4.6.12]

V [33.42; 32.4.3.4; 3.42.6;
32.62; 32.4.12; 4.6.12]

V [36; 32.4.3.4; 44; 3.42.6;
34.6; 3.4.6.4; (3.6)2]

V [36; 33.42; 32.4.3.4; 34.6;
3.42.6; 3.4.6.4; (3.6)2]1

V [36; 33.42; 32.4.3.4; 34.6;
3.42.6; 3.4.6.4; 32.4.12]

V [36; 33.42; 32.4.3.4; 34.6;
3.42.6; 3.4.6.4; (3.6)2]2
Униформа 7 K2 Tomruen.png
V [36; 33.42; 32.4.3.4;
34.6; 3.42.6; 32.4.12; 4.6.12]

Как ни странно, 5-й и 7-й двойственные мозаики Кротенхердта uniform-7 имеют одинаковые типы вершин, хотя и не похожи друг на друга!

Из вперед, униформы нет п мозаики с п типы вершин или без униформы п двойные с п отчетливые (полу) планигоны.[8]

Фрактализация Dual k-Равномерная мозаика

Есть много способов генерировать новые k-двойственно-однородные мозаики из старых k-однородных мозаик. Например, обратите внимание, что 2-форма V [3.12.12; 3.4.3.12] мозаика имеет квадратную решетку, 4 (3-1) -однородную V [343.12; (3,122)3] тайлинг имеет плоскую квадратную решетку и 5 (3-1-1) -однородную V [334.12; 343,12; (3.12.12) 3] тайлинг имеет вытянутую треугольную решетку. Эти равномерные мозаики более высокого порядка используют ту же решетку, но обладают большей сложностью. Двойная фрактальная основа этих мозаик такова:

ТреугольникКвадратШестиугольникРассеченный

Додекагон

Форма
Шестиугольник.png
Рассеченный Додекагон.png
Фрактализация

(Двойной)

Усеченный Гексагональный Двойной Фрактальный Треугольник.png
Усеченный гексагональный двойной фрактальный квадрат.png
Усеченный шестиугольник Dual Fractal Hexagon.png
Усеченный шестиугольный двойной фрактальный рассеченный Dodecagon.png

Длина сторон увеличена в раз :

  • Каждый треугольник заменяется тремя V [3.122] многоугольники (единица 1-двойственно-однородной V [3.122] черепица);
  • Каждый квадрат заменяется четырьмя V [3.122] и четырех многоугольников V [3.4.3.12] (единица 2-двойственно-однородной V [3.122; V3.4.3.12] тайлинг);
  • Каждый шестиугольник заменен шестью дельтоидами V [3.4.6.4], шестью связками V [3.4.3.12] и шестью V [3.122] многоугольники (единица этой 3-двойственно-однородной мозаики)
  • Каждый двенадцатигранник разделен на шесть больших треугольников, шесть больших квадратов и один центральный шестиугольник, все из которых состоят из вышеперечисленных.

Это можно сделать аналогично с усеченным трехгексагональным замощением в качестве основы с соответствующим растяжением .

ТреугольникКвадратШестиугольникРассеченный

Додекагон

Форма
Шестиугольник.png
Рассеченный Додекагон.png
Фрактализация

(Двойной)

Усеченный трехгранный двойной фрактальный треугольник.png
Усеченный трехгранный двойной фрактальный квадрат.png
Усеченный трехгранный двойной фрактальный шестиугольник.png
Усеченный Трехгексагональный Двойной Фрактальный Рассеченный Додекагон.png
  • Каждый треугольник заменяется тремя многоугольниками V [4.6.12] (единица 1-двойственно-однородного V [4.6.12] разбиения);
  • Каждый квадрат заменяется одним квадратом, четырьмя V [33.42] многоугольников, четырех V [3.4.3.12] многоугольников и четырех V [32.4.12] многоугольники (единица этого 4-двойственно-однородного разбиения Кротенхердта);
  • Каждый шестиугольник заменен шестью дельтоидами V [3.4.6.4] и тридцатью шестью многоугольниками V [4.6.12] (единица этого 5-двойственно-однородного мозаичного покрытия).
  • Каждый двенадцатигранник разделен на шесть больших треугольников, шесть больших квадратов и один центральный шестиугольник, все из которых состоят из вышеперечисленных.

Примеры фрактализации

Усеченная шестиугольная мозаикаУсеченная трехгексагональная мозаика
Двойной
Фрактализация
Двойник планарной фрактальной усеченной шестиугольной мозаики II.pngДвойник плоской мозаики, фрактализующей усеченную трехгексагональную мозаику (вариант рук) .png

Разное

Сравнение 65 k однородных мозаик в однородных плоских мозаиках и их двойственных однородных мозаиках. Два нижних ряда совпадают и масштабируются.
Сравнение 65 k равномерные мозаики в равномерные плоские мозаики и их двойственные однородные мозаики. Два нижних ряда совпадают и масштабируются.

Рекомендации

  1. ^ Грюнбаум, Бранко; Шепард, Г.С. (1987). Плитки и узоры. В. Х. Фриман и компания. стр.59, 96. ISBN  0-7167-1193-1.
  2. ^ Конвей, Джон Х.; Берджел, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (18 апреля 2008 г.). "Глава 21, Называя архимедовы и каталонские многогранники и мозаики, евклидовы плоские мозаики". Симметрии вещей. А. К. Питерс / CRC Press. п. 288. ISBN  978-1-56881-220-5. Архивировано из оригинал 19 сентября 2010 г.
  3. ^ Энциклопедия математики: Орбита - уравнение Рэлея , 1991
  4. ^ Иванов, А. Б. (2001) [1994], «Планигон», Энциклопедия математики, EMS Press
  5. ^ «БОЛЬШОЙ СПИСОК ПЛИТКОВ ОБЫЧНЫХ ПОЛИГОНОВ». БОЛЬШОЙ СПИСОК СИСТЕМ ПЛИТНОВ РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ. Получено 2019-08-30.
  6. ^ Рушик, Ричард. (2006). Введение в геометрию. Альпин, Калифорния: AoPS Inc. ISBN  0977304523. OCLC  68040014.
  7. ^ k-однородные мозаики правильными многоугольниками В архиве 2015-06-30 на Wayback Machine Нильс Леннгрен, 2009 г.[требуется проверка ]
  8. ^ «11,20,39,33,15,10,7 - OEIS». oeis.org. Получено 2019-06-26.